ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

$x^{\dfrac {2}{3}}+y^{\dfrac {2}{3}}+z^{\dfrac {2}{3}}\leqq 1$の領域の体積を求める。

 

 

 

 

 

 

 

$V=\iiint f\left( x,y,z\right) dxdydz$      $f\left( x,y,z\right) =1$だから

 

 

求める体積は $V=\iiint  dxdydz$
 

 

 

球の対称性より$x\geq 0,y\geq 0,z\geq 0$の部分を８倍すればよい。

 

 

$x=a^{3},y=b^{3},z=c^{3}$とおくと

 

 

$dx=3a^{2}da,　　dy=3b^{2}db,　dz=3c^{2}dc$

 

$dxdydz=27a^{2}b^{2}c^{2}\cdot dadbdc$

 

 

 

したがって求めるＶは

 

 

$V=8\iiint 27a^{2}b^{2}c^{2}dadbdc$

 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqq 1$

$0\leqq a,b,c$

 

 

ここでa　b　c　を極座標に変換すると

 

 

$a=r\sin \theta\cos \varphi ,b=r\sin \varphi,c=r\cos \theta$より

 

ヤコビアンＪ＝$r^{2}\sin \theta$

 

 

 

求める体積は

 

$V=8\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}d\varphi \int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}d\theta ・27\left( r\sin \theta \cos \varphi \right) ^{2}\left( r\sin \theta \sin \varphi \right) ^{2}\left( r\cos \theta \right)  r^{2}\sin \theta \int _{0}^{1}dr$

 

 

 

$=8・27\left( \int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\cos ^{2}\varphi \sin ^{2}\varphi d\varphi \right) \left( \int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\sin ^{5}\theta \cos ^{2}\theta d\theta \right)\left( \int ^{1}_{0}r^{8}dr\right)$

 

 

ここで上の３つの積分を別々に計算すると

 

 

$\left( \int ^{1}_{0}r^{8}dr\right) =\left( \dfrac {r^{9}}{9}\right) ^{1}_{0}=\dfrac {1}{9}$

 

 

ウォリスの積分公式を使って

 

 

$\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\sin ^{5}\theta cos^{2}\theta d\theta =\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\sin ^{5}\theta -\sin ^{7}\theta d\theta =\dfrac {4}{5}\times \dfrac {2}{3}-\dfrac {6}{7}\times \dfrac {4}{5}\times \dfrac {2}{3}=\dfrac {8}{105}$

 

 

$\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta d\theta =\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\cos ^{2}\theta -\cos ^{4}\theta d\theta =\dfrac {\pi}{4}-\dfrac {3\pi}{16}=\dfrac {\pi}{16}$

 

 

$V=8\times 27\times \dfrac {\pi}{16}\times \dfrac {8}{105}\times \dfrac {1}{9}=\dfrac {4}{35}\pi$

 

 

$\dfrac {4}{35}\pi$・・・答え