ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

３次元の単位球　V={(x,y,z)|$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqq 1$}をDを表します。

このとき３重積分$\int \int \int x^{2}+y^{2}　dxdydz$　を求める。

円柱座標で考える。$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z$

$0\leqq r ^{2}\leqq 1-z^{2}\Rightarrow 0\leqq r\leqq \sqrt {1-z^{2}}$

$\int \int \int x^{2}+y^{2}　dxdydz=\int ^{2\pi }_{0}d\theta \int ^{1}_{-1}dz\int ^{\sqrt {1-z^{2}}}_{0}r^{3}dr$

$=2\pi \int ^{1}_{-1}\left[ \dfrac {r^{4}}{4}\right] ^{\sqrt {1-z^{2}}}_{0}dz=\dfrac {\pi }{2}\int ^{1}_{-1}\left( 1-z^{2}\right) ^{2}dz=\pi \left[ z-\dfrac {2}{3}z^{2}+\dfrac {1}{5}z^{5}\right] ^{1}_{0}$

$＝\left( 1-\dfrac {2}{3}+\dfrac {1}{5}\right) \pi ＝ \dfrac {8}{15}\pi$・・・答え