ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

の固有値を求める。

行列式は

$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4-\lambda & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4-\lambda & 2 \\ 4-\lambda & 3 & 2 & 1-\lambda \end{vmatrix}$

１列に４列を加える。２列に３列を加える。　

$=\begin{vmatrix} 5-\lambda & 5 & 3 & 4 \\ 5 & 5-\lambda & 1 & 3 \\ 5 & 5-\lambda & 4-\lambda & 2 \\ 5-\lambda & 5 & 2 & 1-\lambda \end{vmatrix}$

２行から３行を引く。１行から４行を引く。

$=\begin{vmatrix} 5-\lambda & 5 & 3 & 4 \\ 5 & 5-\lambda & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 3-\lambda & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -3-\lambda \end{vmatrix}$

公式　$\begin{vmatrix} A & B \\ O & C \end{vmatrix}=\left| A\right| \cdot \left| C\right|$を使って行列式を求める。

$=\begin{vmatrix} 5-\lambda & 5 \\ 5 & 5-\lambda \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 3-\lambda & -1 \\ -1 & -3-\lambda \end{vmatrix}=\left\{ \left( \lambda -5\right) ^{2}-25\right\} \left\{ \left( \lambda ^{2}-9\right) -1\right\}$

$=\lambda \left( \lambda -10\right) \left( \lambda +\sqrt {10}\right) \left( \lambda -\sqrt {10}\right) =0$

固有値の値は　　$0,10,\pm \sqrt {10}$・・・答え