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行列15の解説 (ブロック分割した行列式)

 

 

 

 

[math]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}[/math]

 

 

の固有値を求める。

 

 

行列式は

 

 

[math]\begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4-\lambda & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4-\lambda & 2 \\ 4-\lambda & 3 & 2 & 1-\lambda \end{vmatrix}[/math]

 

 

1列に4列を加える。2列に3列を加える。 

 

 

 

[math]=\begin{vmatrix} 5-\lambda & 5 & 3 & 4 \\ 5 & 5-\lambda & 1 & 3 \\ 5 & 5-\lambda & 4-\lambda & 2 \\ 5-\lambda & 5 & 2 & 1-\lambda \end{vmatrix}[/math]

 

 

 

2行から3行を引く。1行から4行を引く。

 

 

[math]=\begin{vmatrix} 5-\lambda & 5 & 3 & 4 \\ 5 & 5-\lambda & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 3-\lambda & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -3-\lambda \end{vmatrix}[/math]

 

 

 

公式 [math]\begin{vmatrix} A & B \\ O & C \end{vmatrix}=\left| A\right| \cdot \left| C\right|[/math]を使って行列式を求める。

 

 

  

[math]=\begin{vmatrix} 5-\lambda & 5 \\ 5 & 5-\lambda \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 3-\lambda & -1 \\ -1 & -3-\lambda \end{vmatrix}=\left\{ \left( \lambda -5\right) ^{2}-25\right\} \left\{ \left( \lambda ^{2}-9\right) -1\right\}[/math]

 

 

 

[math]=\lambda \left( \lambda -10\right) \left( \lambda +\sqrt {10}\right) \left( \lambda -\sqrt {10}\right) =0[/math]

 

 

 

固有値の値は  [math]0,10,\pm \sqrt {10}[/math]・・・答え

 

 

 

 

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