ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

 

 

原点Ｏからの距離と平面ｘ＋ｙ＋ｚ＝１からの等しい点Ｐ全体の曲線が

 

 

$\begin{pmatrix} x & y & z & 1 \end{pmatrix}A\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}=0$

 

 

で表せるとき、行列Ａを求める。

 

 

ただし、Ａの（１，１）成分は２である。

 

 

 

$p\left( x,y,z\right) ,\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\dfrac {\left| x+y+z-1\right| }{1^{2}+1^{2}+1^{2}}$

 

 

 

$3\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) =\left( x+y+z-1\right) ^{2}$

 

 

 

 

$2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-2xy-2xz-2yz+2x+2y+2z-1=0$・・・（１)

 

 

 

求める４次対称行列Ａを

 

 

 

$A=\begin{pmatrix} 2 & a & b & c \\ a & d & e & g \\ b & e & t & h \\ c & g & h & j \end{pmatrix}$　　とすると

 

 

 

$\begin{pmatrix} x & y & z & 1 \end{pmatrix}A\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix}$

 

 

 

$=\begin{pmatrix} x & y & z & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2x+ay+bz+c \\ ax+dy+ez+g \\ bx+ey+fz+h \\ cx+gy+hz+j \end{pmatrix}$

 

 

 

$=2x^{2}+dy^{2}+fz^{2}+2axy+2bxz+2eyz+2ck+2gy+2hz+j$

 

 

 

この式と（１）の係数を比較すると

 

 

 

ｄ＝ｆ＝２，a＝ｂ＝e＝－１，ｃ＝ｇ＝ｈ＝１，ｊ＝－１

 

 

 

 

$A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$　・・・答え