ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

$x^{4}-4x^{3}+x^{2}-3=0$

 

 

この方程式を解く。

 

 

因数定理でさがしても１次式の因数はみつからないので。

 

 

 

そこで二次式の因数を考える。

 

 

$\left( x^{2}+ax-1\right) \left( x^{2}+bx+3\right)$

$\left( x^{2}+ax+1\right) \left( x^{2}+bx-3\right)$

の２つのパターンが考えらる。

 

 

 

２つのパターンについて吟味する。

 

 

$\left( x^{2}+ax-1\right) \left( x^{2}+bx+3\right)$の場合

 

 

$=x^{4}+\left( a+b\right) x^{3}+\left( 2-ab\right) x^{2}-\left( 3a+b\right) x-3$

 

 

$a+b=-4,2-ab=1,3a+b=0$

 

 

これに適するa，bは存在しないので

 

 

したがってこの因数の形はない。

 

 

$\left( x^{2}+ax+1\right) \left( x^{2}+bx-3\right)$の場合

 

 

$x^{4}+\left( a+b\right) x^{3}+\left( ab-2\right) x^{2}+\left( b-3a\right) x-3=0$

 

 

$a+b=-4,ab-2=1,b-3a=0$　

 

 

$\left( a,b\right) =\left( -1,-3\right)$となる。

 

 

 

したがって

 

 

$x^{4}-4x^{3}+x^{2}-3=\left( x^{2}-x+1\right) \left( x^{2}-3x-3\right) =0$　

 

となり、それぞれの二次方程式の解の公式よりこの４次方程式の解は

 

 

$x=\dfrac {1\pm \sqrt {3}i}{2},\dfrac {3\pm \sqrt {21}}{2}$・・・答え

 

 

pythonで解くと