ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\left( a+b+c\right) \left( a^{2}+b^{2}+c^{2}-cb-bc-ca\right)$の公式を使う。

3次方程式$x^{3}-3x^{2}+5x-1=0$ の３つの解を$\alpha ,\beta ,r$ とする。

（１）

解と係数の関係より

$\alpha +\beta +\gamma =3$

$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =5$

$\alpha \beta \gamma =1$なので

$\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}-3\alpha \beta \gamma =\left( \alpha  +\beta  +\gamma \right) \left( \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\alpha \beta -\beta \gamma -\gamma \alpha\right)$

$=\left( \alpha  +\beta  +\gamma \right) \left\{ \left( \alpha+\beta +\gamma \right)^{2}-3\left( \alpha \beta +\beta \gamma+\gamma \alpha\right) \right\}$

$=3\left( 3^{2}-3\cdot 5\right) =-18$・・・(1)答え

（２）　　とにかく展開して、同類項にまとめる。

$\left( \alpha \beta^{2} +\beta \gamma^{2} +\gamma \alpha^{2}\right)\left( \alpha^{2} \beta +\beta^{2} \gamma +\gamma^{2} \alpha\right)$

$=\alpha^{3} \beta^{3} +\alpha \beta^{4} \gamma +\alpha^{2} \beta^{2} \gamma^{2} +\alpha^{2} \beta^{2} \gamma^{2}+\beta^{3} \gamma^{3} +\alpha \beta \gamma^{4} +\alpha^{4} \beta \gamma +\alpha^{2} \beta^{2} \gamma^{2} +\gamma^{3} \alpha^{3}$

$=3\alpha^{2} \beta^{2}\gamma^{2} +\alpha \beta \gamma \left( \alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}\right) +\left( \alpha^{3} \beta^{3} +\beta^{3} \gamma^{3} +\gamma^{3} \alpha^{3}\right)$　なるので、この式の値を求める。

この式の第３項は先の公式より

$\alpha^{3} \beta^{3} +\beta^{3} \gamma^{3} +\gamma^{3} \alpha^{3}=\left( \alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha \right)\left\{ \left( \alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha \right)^{2}-3\left( \alpha \beta ^{2}\gamma+\alpha \beta \gamma^{2}+\alpha ^{2}\beta \gamma \right) \right\}+3\alpha^{2}\beta^{2}\gamma^{2}$

なるので、$3\left( \alpha \beta ^{2}\gamma+\alpha \beta \gamma^{2}+\alpha ^{2}\beta \gamma \right) =3\alpha \beta \gamma \left(\alpha +\beta +\gamma \right)$と置き換えて

$\alpha^{3} \beta^{3} +\beta^{3} \gamma^{3} +\gamma^{3} \alpha^{3}=5\left( 5^{2}-3\cdot 1\cdot 3\right) +3=83$

これより

$3\alpha^{2} \beta^{2}\gamma^{2} +\alpha \beta \gamma \left( \alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}\right) +\left( \alpha^{3} \beta^{3} +\beta^{3} \gamma^{3} +\gamma^{3} \alpha^{3}\right)=3\cdot 1^{2}+1\cdot \left( -18+3\cdot 1\right) +83=71$

・・・（２）答え