ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$\sin ^{-1}2x\left( -\dfrac {1}{2}\leqq x\leqq \dfrac {1}{2}\right)$　をマクローリン展開して$x^{3}$の係数を求める。

$f\left( x\right) =\sin ^{-1}x$　とおくと

$f'\left( x\right) =\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}=\left( 1-x^{2}\right) ^{-\dfrac {1}{2}}$

$f''\left( x\right) =\dfrac {d}{dx}\left( 1-x^{2}\right) ^{-\dfrac {1}{2}}=-\dfrac {1}{2}\left( -2x\right) \left( 1-x^{2}\right) ^{-\dfrac {3}{2}}$

$f^{\left( 3\right) }\left( x\right) =\dfrac {d}{dx}x\left( 1-x^{2}\right) ^{-\dfrac {3}{2}}=\left( 1-x^{2}\right) ^{-\dfrac {3}{2}}+3x^{2}\left( 1-x^{2}\right) ^{-\dfrac {5}{2}}$

したがって

$f^{\left( 3\right) }\left( 0\right) =1$

マクローリン展開のｘの３乗の項は

$\dfrac {1}{3!}\left( 2x\right) ^{3}=\dfrac {4}{3}x^{3}$　

$\dfrac {4}{3}$・・・の答え