ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

 

 

公式         $\det \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix}=\det \left( A+B\right) \det \left( A-B\right)$    を使う。

 

 

 

(1)

 

$\begin{pmatrix} a & o & a & o \\ o & a & o & a \\ a & o & a & 0 \\ 0 & a & o & a \end{pmatrix}$　　　の固有値を求める。

 

固有方程式

 

$\det \begin{pmatrix} a-\lambda & o & a & 0 \\ 0 & a-\lambda & 0 & a \\ a & o & a-\lambda & 0 \\ 0 & a & o & a-\lambda \end{pmatrix}$

 

 

 

$=\det \begin{pmatrix} 2a-\lambda & 0 \\ 0 & 2a-\lambda \end{pmatrix}\det \begin{pmatrix} -\lambda & 0 \\ 0 & -\lambda \end{pmatrix}$

 

 

 

$=\lambda ^{2}\left( 2a-\lambda \right) ^{2}=0$

 

 

０,      2a・・・(1)の答え

 

 

 

（２）

 

 

 

$\det \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 0 & a \\ a & -\lambda & a & 0 \\ 0 & a & -\lambda & 0 \\ a & o & a & -\lambda \end{pmatrix}=0$　　　の固有方程式を求める。

 

 

 

 

公式より

 

 

$det \begin{pmatrix} -\lambda & 2a \\ 2a & -\lambda \end{pmatrix}\det \begin{pmatrix} -\lambda & 0 \\ 0 & -\lambda \end{pmatrix}=\lambda ^{2}\left( \lambda ^{2}-4a^{2}\right) =0$

 

 

 

固有値は$\pm 2a,0$・・・答え

 

 

 

参考事項

 

公式の導き方

 

 

第２行を第１行に加える。

 

$det \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} A+B & B+A \\ B & A \end{pmatrix}$

 

 

 

第１列を第２列から引く

 

$=\det \begin{pmatrix} A+B & O \\ B & A-B \end{pmatrix}$