式・方程式１の解説

[math]x^{4}+y^{4}+z^{4}-2x^{2}y^{2}-2y^{2}z^{2}-2z^{2}x^{2}[/math]の式を

[math]x+y+z=p,xy+yz+zx=q,xyz=r[/math]とおいて、

上の式をｐ,ｑ,ｒで表す。

[math]x^{2}+y^{2}+z^{2}=\left( x+y+z\right) ^{2}-2xy-2yz-2zx=p^{2}-2q[/math]

また同様に

[math]x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}=\left( xy+yz+zx\right) ^{2}-2\left( xy^{2}z+xyz^{2}+x^{2}yz\right)=q^{2}-2pr[/math]

[math]x^{4}+y^{4}+z^{4}=\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{2}-2\left( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}\right)[/math]

したがって

[math]x^{4}+y^{4}+z^{4}-2x^{2}y^{2}-2y^{2}z^{2}-2z^{2}x^{2}[/math]

[math]=\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{2}-4\left( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\right)[/math]

[math]=\left( p^{2}-2q\right) ^{2}-4\left( q^{2}-2pr\right) =p^{4}-4p^{2}q+8pr[/math]　・・・答え

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