ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

（１）

Aの固有方程式は

$\begin{vmatrix} 4-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}$

$=-\lambda ^{3}+8\lambda ^{2}-17\lambda +10=0$

この式を因数定理を使って因数をみつけると、

$f\left( 1\right) =-1+8-17+10=0$

この固有方程式には　（λ－１）の因数がある。

したがって

$=-\left( \lambda -1\right) \left( \lambda ^{2}-7\lambda +10\right)$

＝$-\left( \lambda -1\right) \left( \lambda -2\right) \left( \lambda -5\right) =0$

したがって固有値は、１, ２, ５ となる。

（２）

上の固有多項式とケーリ・ハミルトンの公式より

$A^{3}-8A^{2}+17A-10I=0$

より

$A^{3}-8A^{2}+18A-12I=A-2I$

$=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$