ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

[math]\left( \log _{e}\left( \sqrt {x^{2}+1}+x\right) \right) '=\dfrac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}[/math]　

[math]x^{2}=a[/math]とおいて、計算する。

[math]f\left( a\right) =\dfrac {1}{\sqrt {a+1}}[/math]を微分する。

[math]f\left( a\right) =-\dfrac {\left( a+1\right) ^{-\dfrac {3}{2}}}{2},f''\left( a\right) =\dfrac {3}{4}\times \left( y+1\right) ^{-\dfrac {5}{2}}[/math]

これにより、上の式

[math][/math]のマクローリン展開の形は

[math]f\left( a\right) =1-\dfrac {1}{2}y+\dfrac {3}{8}y^{2}+O\left( x^{6}\right)[/math]となる。

ｘの式にもどすと　

[math]\dfrac {d}{dx}( \log _{e}\left( \sqrt {x^{2}+1}+x\right) =1-\dfrac {1}{2}x^{2}+\dfrac {3}{8}x^{4}+O\left( x^{6}\right)[/math]

両辺を積分すると

[math]\log _{e}\left( \sqrt {x^{2}+1}+x\right) =x-\dfrac {1}{6}x^{3}+\dfrac {3}{40}x^{5}+O\left( x^{7}\right)[/math]

[math]\dfrac {3}{40}[/math]・・・答え