ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$\left( \log _{e}\left( \sqrt {x^{2}+1}+x\right) \right) '=\dfrac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}$　

$x^{2}=a$とおいて、計算する。

$f\left( a\right) =\dfrac {1}{\sqrt {a+1}}$を微分する。

$f\left( a\right) =-\dfrac {\left( a+1\right) ^{-\dfrac {3}{2}}}{2},f''\left( a\right) =\dfrac {3}{4}\times \left( y+1\right) ^{-\dfrac {5}{2}}$

これにより、上の式

のマクローリン展開の形は

$f\left( a\right) =1-\dfrac {1}{2}y+\dfrac {3}{8}y^{2}+O\left( x^{6}\right)$となる。

ｘの式にもどすと　

$\dfrac {d}{dx}( \log _{e}\left( \sqrt {x^{2}+1}+x\right) =1-\dfrac {1}{2}x^{2}+\dfrac {3}{8}x^{4}+O\left( x^{6}\right)$

両辺を積分すると

$\log _{e}\left( \sqrt {x^{2}+1}+x\right) =x-\dfrac {1}{6}x^{3}+\dfrac {3}{40}x^{5}+O\left( x^{7}\right)$

$\dfrac {3}{40}$・・・答え