ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

（１）

固有多項式を求める。

$\begin{vmatrix} 3-\lambda & 0 & 2 \\ -4 & 1-\lambda & -3 \\ 1 & 5 & -2-\lambda \end{vmatrix}$　

$=\left( 3-\lambda \right) \left( 1-\lambda \right) \left( -2-\lambda \right) -40-2\left( 1-\lambda \right) +15\left( 3-\lambda \right)$

$=-\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}-8\lambda -3=0$

ケーリーハミルトンの公式より

$A^{3}=2A^{2}-8A-3I$・・・（１）の答え

（２）

（２）の式を（１）の式で割ると次のようになる。

$A^{5}-5A^{4}+16A^{3}-24A^{2}$

$=\left( A^{3}-2A^{2}+8A+3I\right) \left( A^{2}-3A+2I\right) +A^{2}-7A-6I$

$=Ｏ\cdot \left( A^{2}-3A+2I\right) +A^{2}-7A-6I$

$=Ｏ+A^{2}-7A-6I=A^{2}-7A-6I$・・・（２）答え