ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

xyz空間内の領域

V={(x,y,z)|$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqq 4,x^{2}+y^{2}\leqq 1,z\geqq 0$}に

ついて、次の３重積分を計算します。
　

$\int \int \int zdxdydz$

円筒座標（ｒ,θ,ｚ）で計算する。したがって

$dxdy=rdrd\theta$　　になる。

円筒状の部分とドーム状の部分の境界のｚ座標は

$z=\sqrt {2^{2}-1^{2}}=\sqrt {3}$となる。

積分する領域は上図のように（０≦ｚ≦√３）円筒状の部分と（√３≦ｚ≦２）のドーム状の部分の２つに分けて積分する。

$\begin{aligned}\iiint _{V}zdxdydz=\int ^{\sqrt {3}}_{0}zdz\int ^{1}_{0}rdr\int ^{2\pi }_{0}d\theta \\ +\int ^{2}_{\sqrt {3}}zdz\int ^{2\pi }_{0}d\theta \int ^{\sqrt {4-z^{2}}}_{0}rdr\end{aligned}$

$=\left[ \dfrac {z^{2}}{2}\right] ^{\sqrt {3}}_{0}\cdot 2\pi \cdot \dfrac {1}{2}+\int ^{2}_{\sqrt {3}}\pi \left( 4z-z^{3}\right) dz$

$=\dfrac {3}{2}\pi +\pi \left[ 2z^{2}-\dfrac {z^{4}}{4}\right] ^{2}_{\sqrt {3}}$

$=\dfrac {3}{2}\pi +\dfrac {1}{4}\pi =\dfrac {7}{4}\pi$・・・答え