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行列40の解説(連立方程式を解く)

 

連立方程式 [math]\begin{cases}ax+y+2z=1\\ x+ay+2z=a\\ x+2y+az=a-1\end{cases}[/math]

 

 

 

 

 

 

① 係数の行列式が0にならない条件とそのときの解を求める。

 

 

係数行列の行列式は

 

 

[math]\begin{vmatrix} a & 1 & 2 \\ 1 & a & 2 \\ 1 & 2 & a \end{vmatrix}=\left( a-1\right) \left( a-2\right) \left( a+3\right)[/math]

 

 

よって行列式が0にならないのは

 

 

[math]a\neq 1,2,-3[/math]・・・答え

 

 

 

連立方程式の上から順に①②③とすると

 

 

①×a-②より

 

 

[math]\left( a^{2}-1\right) x+2\left( a-1\right) z=0\Rightarrow z=-\dfrac {\left( a+1\right) x}{2}[/math]

 

 

①-②+③より

 

 

[math]ax+\left( 3-a\right) y+az=0\Rightarrow y=\dfrac {1}{3-a}\cdot \dfrac {a^{2}-a}{2}x=\dfrac {a\left( a-1\right) x}{2\left( 3-a\right) }[/math]

 

 

 

①より

 

 

[math]ax+\dfrac {a\left( a-1\right) }{2\left( 3-a\right) }x-\left( a+1\right) x=1\Rightarrow x=-\dfrac {2\left( a-3\right) }{\left( a-2\right) \left( a+3\right) }[/math]

 

 

 

[math]\left( x,y,z\right) =\left( -\dfrac {2\left( a-3\right) }{\left( a-2\right) \left( a+3\right),}\dfrac {a\left( a-1\right) }{\left( a-2\right) \left( a+3\right) }\dfrac {\left( a+1\right) \left( a-3\right) }{,\left( a-2\right) \left( a+3\right) }\right)[/math]・・・答え

 

 

 

 

 

 

 

② 係数の行列式が0になる場合の解を調べる。

 

 

a=1の場合

 

[math]\begin{cases}x+y+2z=1\ldots \left( 1\right) \\ x+y+2z=1\ldots \left( 2\right) \\ x+2y+z=0\ldots \left( 3\right) \end{cases}[/math]

 

(1)と(2)が一致するので、3-2=1で1の自由度の解をもつ。

z=tとすれば、y=t-1,x=2-3tになる。

 

 

 

a=2の場合

 

[math]\begin{cases}2x+y+2z=1\ldots \left( 4\right) \\ x+2y+2z=2\ldots \left( 5\right) \\ x+2y+2z=1\ldots \left( 6\right) \end{cases}[/math]

 

(5)と(6)より解をもたないので、不能になる。

 

 

a=3の場合

 

[math]\begin{cases}-3x+y+2z=1\ldots \left( 7\right) \\ x-3y+2z=-3\ldots \left( 8\right) \\ x+2y-3z=-4\ldots \left( 9\right) \end{cases}[/math]

 

 

(8)×3+(7)から y-z=-1

 

 

(9)×3+(7)から [math]y-z=-\dfrac {11}{7}[/math]

 

解をもたない。この場合も不能である。

 

 

答え a=1の場合  x=2-3t,y=t-1,z=t

   a=2,ー3の場合は 解なし。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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