ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

連立方程式　$\begin{cases}ax+y+2z=1\\ x+ay+2z=a\\ x+2y+az=a-1\end{cases}$

 

 

 

 

 

 

①　係数の行列式が０にならない条件とそのときの解を求める。

 

 

係数行列の行列式は

 

 

$\begin{vmatrix} a & 1 & 2 \\ 1 & a & 2 \\ 1 & 2 & a \end{vmatrix}=\left( a-1\right) \left( a-2\right) \left( a+3\right)$

 

 

よって行列式が０にならないのは

 

 

$a\neq 1,2,-3$・・・答え

 

 

 

連立方程式の上から順に①②③とすると

 

 

①×a－②より

 

 

$\left( a^{2}-1\right) x+2\left( a-1\right) z=0\Rightarrow z=-\dfrac {\left( a+1\right) x}{2}$

 

 

①－②＋③より

 

 

$ax+\left( 3-a\right) y+az=0\Rightarrow y=\dfrac {1}{3-a}\cdot \dfrac {a^{2}-a}{2}x=\dfrac {a\left( a-1\right) x}{2\left( 3-a\right) }$

 

 

 

①より

 

 

$ax+\dfrac {a\left( a-1\right) }{2\left( 3-a\right) }x-\left( a+1\right) x=1\Rightarrow x=-\dfrac {2\left( a-3\right) }{\left( a-2\right) \left( a+3\right) }$

 

 

 

$\left( x,y,z\right) =\left( -\dfrac {2\left( a-3\right) }{\left( a-2\right) \left( a+3\right),}\dfrac {a\left( a-1\right) }{\left( a-2\right) \left( a+3\right) }\dfrac {\left( a+1\right) \left( a-3\right) }{,\left( a-2\right) \left( a+3\right) }\right)$・・・答え

 

 

 

 

 

 

 

②　係数の行列式が０になる場合の解を調べる。

 

 

a＝１の場合

 

$\begin{cases}x+y+2z=1\ldots \left( 1\right) \\ x+y+2z=1\ldots \left( 2\right) \\ x+2y+z=0\ldots \left( 3\right) \end{cases}$

 

(1)と(２)が一致するので、３－２＝１で１の自由度の解をもつ。

ｚ＝ｔとすれば、ｙ＝ｔ－１，ｘ＝２－３ｔになる。

 

 

 

a＝２の場合

 

$\begin{cases}2x+y+2z=1\ldots \left( 4\right) \\ x+2y+2z=2\ldots \left( 5\right) \\ x+2y+2z=1\ldots \left( 6\right) \end{cases}$

 

（５）と（６）より解をもたないので、不能になる。

 

 

a＝３の場合

 

$\begin{cases}-3x+y+2z=1\ldots \left( 7\right) \\ x-3y+2z=-3\ldots \left( 8\right) \\ x+2y-3z=-4\ldots \left( 9\right) \end{cases}$

 

 

（８）×３＋（７）から　ｙ－ｚ＝－１

 

 

（９）×３＋（７）から　$y-z=-\dfrac {11}{7}$

 

解をもたない。この場合も不能である。

 

 

答え　a＝１の場合　 ｘ＝２－３ｔ，ｙ＝ｔ－１，ｚ＝ｔ

　　　a＝２，ー３の場合は　解なし。