ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

次の行列式を求める。

 

[math]\begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 3 & 4 \\ -4 & 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}[/math]

 

 

 

 

 

第３行目を第１行目に上げる。

 

[math]\begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 3 & 4 \\ -4 & 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}=\left( -1\right) ^{2}\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & -3 \\ -4 & 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}[/math]

 

 

 

２行目ー１行×３、　３行目ー１行×２、　４行目＋１行×４

 

 

 

[math]=\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 10 & -10 & -10 \\ 0 & 5 & -2 & -11 \\ 0 & -5 & 14 & 17 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 10 & -10 & -1 \\ 5 & -2 & -11 \\ -5 & 14 & 17 \end{vmatrix}=10\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 5 & -2 & -11 \\ -5 & 14 & 17 \end{vmatrix}[/math]

 

 

２行目ー１行×５、　　３行目＋２行

 

 

 

[math]=10\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & 12 & 6 \end{vmatrix}=10\begin{vmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 6 \end{vmatrix}=10\cdot \left( 18+72\right) =900[/math]

 

 

 

 

[math]900[/math]・・・答え

 

 

 

 

 

別解

 

ブロック分割した行列式の公式

 

 

[math]\begin{vmatrix} A & -B \\ B & A \end{vmatrix}=\det \begin{pmatrix} A& - B \\ B & A \end{pmatrix}[/math]　

 

 

 

[math]=\det \left( A+iB\right) \det \left( A-iB\right)[/math]

 

 

厳密ではなく簡単に証明すると

 

２行－１行×i　　の操作をすると

 

 

[math]\begin{vmatrix} A & -B \\ B & A \end{vmatrix}\rightarrow \begin{vmatrix} A & -B \\ B-iA & A+iB \end{vmatrix}[/math]

 

 

１列目＋2列目×i　　の操作をする。

 

 

[math]\rightarrow \begin{vmatrix} A-i B & -B \\ 0 &  A＋iB \end{vmatrix}[/math]

 

 

 

[math]=\left| A-iB\right| \left| A+iB\right|[/math]

 

 

証明終

 

 

 

 

この公式を使って、次の行列式を求める。

 

 

[math]\begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 3 & 4 \\ -4 & 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}[/math]

 

 

 

 

 

[math]\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=A,\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}=B[/math]とすると

 

 

[math]\begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 3 & 4 \\ -4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix}[/math]となるので

 

 

 

[math]\begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & -3 \\ 1 & -2 & 3 & 4 \\ -4 & 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}=\det \left( A+iB\right) \det \left( A-iB\right)[/math]

 

 

上記の公式にあてはめると

 

 

[math]=\begin{vmatrix} 3+i & 4-2i \\ 2-4i & 1+3i \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 3-i & 4+2i \\ 2+4i & 1-3i \end{vmatrix}[/math]　

 

 

 

[math]=\left\{ \left( 3+i\right) \left( 1+3i\right) -\left( 4-2i\right) \left( 2-4i\right) \right\} \left\{ \left( 3-i\right) \left( 1-3i\right) -\left( 4+2i\right) \left( 2+4i\right) \right\}[/math]　

 

 

 

[math]=\left( 10i+20i\right) \left( -10i-20i\right) =-900i^{2}=900[/math]

 

 

 

 

[math]900[/math]・・・答え

 

 

 

pythonで行列式を求めると