ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

ｘの３次方程式$x^{3}+2x^{2}+4x+7=0$の３つの複素数解を$\alpha ,\beta ,\gamma$とするとき、$\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4}$の値を求める。

 

 

 

 

 

 

３次方程式の解と係数の関係より

 

 

$\alpha +\beta +r=-2,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =4,\alpha \beta \gamma =-7$ の値になる。

 

 

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=\left( \alpha +\beta +\gamma \right) ^{2}-2\left( \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha \right)=\left( -2\right) ^{2}-2\cdot 4=-4\ldots \left( 1\right)$

 

 

$\alpha ^{2}\beta ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}+\gamma ^{2}\alpha ^{2}=\left( \alpha \beta +\beta \gamma +r\alpha \right) ^{2}-2\alpha \beta \gamma \left( \alpha +\beta +\gamma \right)=16-2\cdot \left( -7\right) \cdot \left( -2\right) =-12\ldots \left( 2\right)$

 

 

（１）と（２）より

 

 

$d^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4}=\left( \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right) ^{2}-2\left( \alpha ^{2}\beta ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}+\gamma ^{2}\alpha ^{2}\right)=\left( -4\right) ^{2}-2\cdot \left( -12\right) =40$

 

 

 

答え　　　４０

 

 

 

 

 

 

 

別解

 

 

３次方程式　$x^{3}+2x^{2}+4x+7=0$　の解を　$\alpha ,\beta ,\gamma$　とする。

 

 

ここで、

 

 

$\alpha ^{3}+2\alpha ^{2}+4\alpha +7=0$

 

 

$\alpha ^{3}=-2\alpha ^{2}-4\alpha -7$　

 

 

$\alpha ^{4}=\alpha \cdot \alpha ^{3}=\alpha \left( -2\alpha ^{2}-4\alpha -7\right)$

 

 

$=-2\alpha ^{3}-4\alpha ^{2}-7\alpha =-2\left( -2\alpha -4\alpha -7\right)=\alpha +14$

 

 

 

β，γ も同様に計算すると

 

 

$\beta ^{4}=\beta +14,\gamma ^{4}=\gamma +14$

 

 

したがって

 

 

$\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4}=\alpha +\beta +\gamma +42$

 

 

３次方程式の解と係数の関係より

 

 

$\alpha +\beta +\gamma =-2$

 

 

 

$\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4}=40$・・・答え