ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

ｘの３次方程式[math]x^{3}+2x^{2}+4x+7=0[/math]の３つの複素数解を[math]\alpha ,\beta ,\gamma[/math]とするとき、[math]\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4}[/math]の値を求める。

 

 

 

 

 

 

３次方程式の解と係数の関係より

 

 

[math]\alpha +\beta +r=-2,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =4,\alpha \beta \gamma =-7[/math] の値になる。

 

 

[math]\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=\left( \alpha +\beta +\gamma \right) ^{2}-2\left( \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha \right)=\left( -2\right) ^{2}-2\cdot 4=-4\ldots \left( 1\right)[/math]

 

 

[math]\alpha ^{2}\beta ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}+\gamma ^{2}\alpha ^{2}=\left( \alpha \beta +\beta \gamma +r\alpha \right) ^{2}-2\alpha \beta \gamma \left( \alpha +\beta +\gamma \right)=16-2\cdot \left( -7\right) \cdot \left( -2\right) =-12\ldots \left( 2\right)[/math]

 

 

（１）と（２）より

 

 

[math]d^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4}=\left( \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right) ^{2}-2\left( \alpha ^{2}\beta ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}+\gamma ^{2}\alpha ^{2}\right)=\left( -4\right) ^{2}-2\cdot \left( -12\right) =40[/math]

 

 

 

答え　　　４０

 

 

 

 

 

 

 

別解

 

 

３次方程式　[math]x^{3}+2x^{2}+4x+7=0[/math]　の解を　[math]\alpha ,\beta ,\gamma[/math]　とする。

 

 

ここで、

 

 

[math]\alpha ^{3}+2\alpha ^{2}+4\alpha +7=0[/math]

 

 

[math]\alpha ^{3}=-2\alpha ^{2}-4\alpha -7[/math]　

 

 

[math]\alpha ^{4}=\alpha \cdot \alpha ^{3}=\alpha \left( -2\alpha ^{2}-4\alpha -7\right)[/math]

 

 

[math]=-2\alpha ^{3}-4\alpha ^{2}-7\alpha =-2\left( -2\alpha -4\alpha -7\right)=\alpha +14[/math]

 

 

 

β，γ も同様に計算すると

 

 

[math]\beta ^{4}=\beta +14,\gamma ^{4}=\gamma +14[/math]

 

 

したがって

 

 

[math]\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4}=\alpha +\beta +\gamma +42[/math]

 

 

３次方程式の解と係数の関係より

 

 

[math]\alpha +\beta +\gamma =-2[/math]

 

 

 

[math]\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4}=40[/math]・・・答え