ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

３次正方行列　$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$　について、次の問いに答えなさい。

①$I_{3}$　を３次正方行列とするとき、$xI_{3}-A$　の行列式をｘの整式で表しなさい。

②$2A^{5}-23A^{3}+4A^{2}+9A$　を計算しなさい。

①　

$\left| xI_{3}-A\right| =\begin{vmatrix} x-1 & -2 & 2 \\ -3 & x+2 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 \end{vmatrix}$

$=\left( x-1\right) ^{2}\left( x+2\right) -2-6\left( x-1\right) -2\left( x+2\right)$

$=x^{3}-11x+2$・・・①の答え

②

ケーリーハミルトンの公式より　$A^{3}=11A-2I_{3}$　なので　

$2A^{5}-23A^{3}+4A^{2}+9A$

$=2A^{2}\left( 11A-3I_{3}\right) -23A^{3}+4A^{2}+9A$

$=-A^{3}+9A=-11A+2I_{3}+9A=-2A+2I_{3}$

$=-2\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -4 & 4 \\ -6 & 6 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 & -4 & 4 \\ -6 & 6 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$　・・・②の答え