ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

次のｘ，ｙに関する２次式を係数が実数の範囲で因数分解する。

[math]x^{2}-7xy+11y^{2}+3x-8y+1[/math]

ｙ＝０として上の式を因数分解すると、

[math]x^{2}+3x+1=0\Rightarrow x=\dfrac {-3\pm \sqrt {5}}{2}[/math]

したがって

[math]\left( x+\dfrac {3+\sqrt {5}}{2}\right) \left( x+\dfrac {3-\sqrt {5}}{2}\right)[/math]

ゆえに問題にある２次式の因数分解の形は

[math]\left( x+ay+\dfrac {3-\sqrt {5}}{2}\right) \left( x+by+\dfrac {3+\sqrt {5}}{2}\right)[/math]　

この式を展開すると

[math]x^{2}+\left( a+b\right) xy+aby^{2}+3x+\left( \dfrac {3-\sqrt {5}}{2}a+\dfrac {3+\sqrt {5}}{2}b\right) y+1=x^{2}-7xy+11y^{2}+3x-8y+1[/math]

係数を比較すると、

[math]\begin{cases}a+b=-7\\ ab=11\\ \dfrac {3-\sqrt {5}}{2}a+\dfrac {3+\sqrt {5}}{2}b=-8\end{cases}[/math]　

上２つの連立方程式を解いて[math]a=-\dfrac {7\pm \sqrt {5}}{2},b=-\dfrac {7\mp \sqrt {5}}{2}[/math]

3番目の方程式の条件で

[math]a=-\dfrac {7+\sqrt {5}}{2},b=-\dfrac {7-\sqrt {5}}{2}[/math]　となる。

[math]\left( x-\dfrac {7+\sqrt {5}}{2}y+\dfrac {3+\sqrt {5}}{2}\right) \left( x-\dfrac {7-\sqrt {5}}{2}y+\dfrac {3-\sqrt {5}}{2}\right)[/math]・・・答え