ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

３次正方行列　$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}$　の固有値をそれぞれ　$\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$　とするとき次の問に答えなさい。

①　$\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}$　の値を求めなさい。

②　$\lambda ^{2}_{1}+\lambda ^{2}_{2}+\lambda ^{2}_{3}$　の値を求めなさい。

①

固有多項式は　$\left| A-\lambda E\right| =\begin{vmatrix} 1-\lambda & 4 & 1 \\ -2 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 3 & -3-\lambda \end{vmatrix}$　

第１列で展開して

$=\left( 1-\lambda \right) \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 \\ 3 & -3-\lambda \end{pmatrix}-\left( -2\right) \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 3 & -3-\lambda \end{vmatrix}$

$=\left( 1-\lambda \right) \left( 2-\lambda \right) \left( -3-\lambda \right) +2\left\{ 4\left( -3-\lambda \right) -3\right\}$

$=-\lambda ^{3}+7\lambda -6-8\lambda -30=-\lambda ^{3}-\lambda -36$

$=-\left( \lambda ^{3}+\lambda +36\right)$　

解と係数の関係より

$\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=0$・・・①の答え　

②　解と係数の関係より

$\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{3}\lambda _{1}=1$より

$\lambda ^{2}_{1}+\lambda ^{2}_{2}+\lambda ^{2}_{3}=\left( \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\right) ^{2}-2\left( \lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{3}\lambda _{1}\right)=0-2=-2$　

　　　ー２　　　②の答え