ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

３次正方行列　[math]A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}[/math]　の固有値をそれぞれ　[math]\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}[/math]　とするとき次の問に答えなさい。

①　[math]\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}[/math]　の値を求めなさい。

②　[math]\lambda ^{2}_{1}+\lambda ^{2}_{2}+\lambda ^{2}_{3}[/math]　の値を求めなさい。

①

固有多項式は　[math]\left| A-\lambda E\right| =\begin{vmatrix} 1-\lambda & 4 & 1 \\ -2 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 3 & -3-\lambda \end{vmatrix}[/math]　

第１列で展開して

[math]=\left( 1-\lambda \right) \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 \\ 3 & -3-\lambda \end{pmatrix}-\left( -2\right) \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 3 & -3-\lambda \end{vmatrix}[/math]

[math]=\left( 1-\lambda \right) \left( 2-\lambda \right) \left( -3-\lambda \right) +2\left\{ 4\left( -3-\lambda \right) -3\right\}[/math]

[math]=-\lambda ^{3}+7\lambda -6-8\lambda -30=-\lambda ^{3}-\lambda -36[/math]

[math]=-\left( \lambda ^{3}+\lambda +36\right)[/math]　

解と係数の関係より

[math]\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=0[/math]・・・①の答え　

②　解と係数の関係より

[math]\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{3}\lambda _{1}=1[/math]より

[math]\lambda ^{2}_{1}+\lambda ^{2}_{2}+\lambda ^{2}_{3}=\left( \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\right) ^{2}-2\left( \lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{3}\lambda _{1}\right)=0-2=-2[/math]　

　　　ー２　　　②の答え