ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

３次正方行列　$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}$は対称行列Sと交代行列Tの和で表すことができます。次の問に答えなさい。

①　Sを求めなさい。

②　Tを求めなさい。

A=S＋T・・・（１）

また、

対称行列は${}^t\!S=S$,交代行列は${}^t\!T=ーT$であるから

${}^t\!A={}^t\!（S+T)={}^t\!S+{}^t\!T=S-T$・・・（２）

（１）（２）を連立させてSとTを解くと

$S=\dfrac {1}{2}\left( A+{}^t\!A\right) ,T=\dfrac {1}{2}\left( A- {}^t\!A\right)$

$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}$のとき、${}^t\!A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 4 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

したがって

$S=\dfrac {1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}+\dfrac {1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 4 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

$T=\dfrac {1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}-\dfrac {1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 4 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

$S=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & -3 \end{pmatrix},T=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$・・・①と②の答え