ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

３次正方行列　[math]A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}[/math]は対称行列Sと交代行列Tの和で表すことができます。次の問に答えなさい。

①　Sを求めなさい。

②　Tを求めなさい。

A=S＋T・・・（１）

また、

対称行列は[math]{}^t\!S=S[/math],交代行列は[math]{}^t\!T=ーT[/math]であるから

[math] {}^t\!A={}^t\!（S+T)={}^t\!S+{}^t\!T=S-T[/math]・・・（２）

（１）（２）を連立させてSとTを解くと

[math]S=\dfrac {1}{2}\left( A+{}^t\!A\right) ,T=\dfrac {1}{2}\left( A- {}^t\!A\right)[/math]

[math]A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}[/math]のとき、[math]{}^t\!A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 4 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}[/math]

したがって

[math]S=\dfrac {1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}+\dfrac {1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 4 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}[/math]

[math]T=\dfrac {1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}-\dfrac {1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 4 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}[/math]

[math]S=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & -3 \end{pmatrix},T=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/math]・・・①と②の答え