ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

①　[math]cos ^{2}x[/math]をマクローリン展開して[math]x^{4}[/math]の項まで求める。

[math]\cos ^{2}x=\dfrac {1+\cos 2x}{2}[/math]であり、

[math]\cos x=1-\dfrac {x^{2}}{2}+\dfrac {x^{4}}{4\cdot 3\cdot 2}+O\left( x^{6}\right)[/math]

上の式のｘを２ｘに置き換えると

[math]\cos 2x=1-\dfrac {4}{2}x^{2}+\dfrac {2^{4}\cdot x^{4}}{4\cdot 3\cdot 2}+O\left( x^{6}\right)[/math]

[math]cos ^{2}x=\dfrac {1}{2}\left( 1+1-2x^{2}+\dfrac {2}{3}x^{4}\right)+O\left( x^{6}\right)[/math]

[math]\fallingdotseq -x^{2}+\dfrac {1}{3}x^{4}[/math]

[math]-x^{2}+\dfrac {1}{3}x^{4}[/math]・・・①の答え

②　[math]\tan x[/math]をマクローリン展開して[math]x^{5}[/math]の項まで求める。

①の結果使って、

[math]\left( \tan x\right) '=\dfrac {1}{\cos ^{2}x}=\dfrac {1}{1-\left( x^{2}-\dfrac {1}{3}x^{4}\right) }[/math]

これは無限等比級数の極限値の公式の形なので、

[math]=1+\left( x^{2}-\dfrac {1}{3}x^{4}\right) +\left( x^{2}-\dfrac {1}{3}x^{4}\right) ^{2}+\ldots[/math]　

[math]=1+x^{2}-\dfrac {1}{3}x^{4}+x^{4}-\dfrac {2}{3}x^{6}+\dfrac {16}{9}x^{8}+\ldots[/math]

[math]\left( \tan x\right) '=1+x^{2}+\dfrac {2}{3}x^{4}+O\left( x^{6}\right)[/math]

[math]\tan x\fallingdotseq x+\dfrac {1}{3}x^{3}+\dfrac {2}{15}x^{5}[/math]

[math]\dfrac {1}{3}x^{3}+\dfrac {2}{15}x^{5}[/math]・・・②の答え