ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

①　$cos ^{2}x$をマクローリン展開して$x^{4}$の項まで求める。

$\cos ^{2}x=\dfrac {1+\cos 2x}{2}$であり、

$\cos x=1-\dfrac {x^{2}}{2}+\dfrac {x^{4}}{4\cdot 3\cdot 2}+O\left( x^{6}\right)$

上の式のｘを２ｘに置き換えると

$\cos 2x=1-\dfrac {4}{2}x^{2}+\dfrac {2^{4}\cdot x^{4}}{4\cdot 3\cdot 2}+O\left( x^{6}\right)$

$cos ^{2}x=\dfrac {1}{2}\left( 1+1-2x^{2}+\dfrac {2}{3}x^{4}\right)+O\left( x^{6}\right)$

$\fallingdotseq -x^{2}+\dfrac {1}{3}x^{4}$

$-x^{2}+\dfrac {1}{3}x^{4}$・・・①の答え

②　$\tan x$をマクローリン展開して$x^{5}$の項まで求める。

①の結果使って、

$\left( \tan x\right) '=\dfrac {1}{\cos ^{2}x}=\dfrac {1}{1-\left( x^{2}-\dfrac {1}{3}x^{4}\right) }$

これは無限等比級数の極限値の公式の形なので、

$=1+\left( x^{2}-\dfrac {1}{3}x^{4}\right) +\left( x^{2}-\dfrac {1}{3}x^{4}\right) ^{2}+\ldots$　

$=1+x^{2}-\dfrac {1}{3}x^{4}+x^{4}-\dfrac {2}{3}x^{6}+\dfrac {16}{9}x^{8}+\ldots$

$\left( \tan x\right) '=1+x^{2}+\dfrac {2}{3}x^{4}+O\left( x^{6}\right)$

$\tan x\fallingdotseq x+\dfrac {1}{3}x^{3}+\dfrac {2}{15}x^{5}$

$\dfrac {1}{3}x^{3}+\dfrac {2}{15}x^{5}$・・・②の答え