ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

次の４次正方行列Aの固有値をすべて求めなさい。

$A=\begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

$\left| A-\lambda E\right| =\begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1-\lambda & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -\lambda & -1 \\ -1 & 2 & -1 & -1-\lambda \end{vmatrix}$

第４行から第２行を引く。

$=\begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1-\lambda & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -\lambda & -1 \\ 0 & \lambda +1 & -2 & -3-\lambda \end{vmatrix}$

第４列に第２列を加える。

$=\begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1-\lambda & 1 & 3-\lambda \\ 0 & 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & \lambda +1 & -2 & -2 \end{vmatrix}$

第１行を展開すると

$=\left( 2-\lambda \right) \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 3-\lambda \\ 1 & -\lambda & 0 \\ \lambda +1 & -2 & -2 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ \lambda+1 & -2 & -2 \end{vmatrix}$

$=\left( 2-\lambda \right) \cdot \left( -\lambda ^{3}+7\lambda -4\right) +\left( -2\lambda \right)$

$=\lambda ^{4}-2\lambda ^{3}-7\lambda ^{2}+16\lambda -8=\left( \lambda -1\right) ^{2}\left( \lambda -8\right) ^{2}=0$

固有値は　$\lambda =1,\pm 2\sqrt {2}$

$1,\pm 2\sqrt {2}$・・・答え