ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$D={ (\left( x,y\right)}$${ |1\leqq x^{2}+y^{2}\leqq 4,x\geqq 0,y\geqq 0)}$とおくとき、

$\int \int _{D}xydxdy$を求める。

２次元極座標変換を使う。

$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta \Rightarrow 1\leqq r\leq 2,0\leqq \theta \leqq \dfrac {\pi }{2}$

$\int \int _{D}xydxdy=\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\int ^{2}_{1}r\cos \theta \cdot r\sin \theta \cdot rdrd\theta$

$=\int ^{2}_{1}r^{2}dr\cdot \int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\sin \theta \cos \theta d\theta=\int ^{2}_{1}r^{3}dr\cdot \int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\dfrac {1}{2}\sin 2\theta d\theta$

$=\left[ \dfrac {r^{4}}{4}\right] ^{2}_{1}\cdot \dfrac {1}{2}\left[ -\dfrac {1}{2}\cos 2\theta \right] ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}=\dfrac {1}{4}\left( 16-1\right) \cdot \dfrac {1}{2}\cdot \left( -\dfrac {1}{2}\cdot \left( -2\right) \right) =\dfrac {15}{8}$

$\dfrac {15}{8}$・・・答え