ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

次の行列の固有値を求めなさい。

[math]\begin{pmatrix} 11 & 8 & 5 & 10 \\ 14 & 1 & 4 & 15 \\ 2 & 13 & 16 & 3 \\ 7 & 12 & 9 & 6 \end{pmatrix}[/math]

[math]\begin{vmatrix} 11-\lambda & 8 & 5 & 1 \\ 14 & 1-\lambda & 4 & 15 \\ 2 & 13 & 16-\lambda & 3 \\ 7 & 12 & 9 & 6-\lambda \end{vmatrix}[/math]

第1行に第２行と第３行と第４行を加える。

[math]=\begin{vmatrix} 34-\lambda & 34-\lambda & 34-\lambda & 34-\lambda \\ 14 & 1-\lambda & 4 & 15 \\ 2 & 13 & 16-\lambda & 3 \\ 7 & 12 & 9 & 6-\lambda \end{vmatrix}=\left( 34-\lambda \right) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 14 & 1-\lambda & 4 & 15 \\ 2 & 13 & 16-\lambda & 3 \\ 7 & 12 & 9 & 6-\lambda \end{vmatrix}[/math]

②－①×１４、③ー①×２、④－①×７

[math]=\left( 34-λ\right) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -13-λ& -10 & 1 \\ 0 & 11 & 14-λ & 1 \\ 0 & 5 & 2 & -1-λ \end{vmatrix}[/math]

2行目から3行目を引く。

[math]=\left( 34-\lambda \right) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -24-\lambda & -24+\lambda & 0 \\ 0 & 11 & 14-\lambda & 1 \\ 0 & 5 & 2 & -1-\lambda \end{vmatrix}=\left( 34-\lambda \right) \begin{vmatrix} -24-\lambda & -24+\lambda & 0 \\ 11 & 14-\lambda & 1 \\ 5 & 2 & -1-\lambda \end{vmatrix}[/math]

第１行目を展開する。

[math]=\left( 34-\lambda \right) \left[ \left( -24-\lambda \right) \begin{vmatrix} 14-\lambda & 1 \\ 2 & -1-\lambda \end{vmatrix}+\left( -24+\lambda \right) \begin{vmatrix} 11 & 1 \\ 5 & -1-\lambda \end{vmatrix}\right][/math]

[math]=\left( 34-\lambda \right) [ -24\left( \lambda ^{2}-2\lambda \right) -\lambda ( \lambda ^{2}-24\lambda-32)][/math]

[math]=-\left( 34-\lambda \right) \lambda \left( \lambda ^{2}-80\right)=0[/math]

[math]34,0,\pm 4\sqrt {5}[/math]・・・答え