ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

ｘｙ平面における領域D＝｛（ｘ，ｙ）｜$x^{2}+y^{2}\leqq 2y,x\geq 0$｝に対して、

$\int \int _{D}xy^{2}dxdy$を計算する。

 

 

 

 

 

 

 

 

$r=2\cos \left( \dfrac {\pi }{2}-\theta \right) =2\sin \theta$

 

 

 

（ｘ，ｙ）の極座標表示（ｒ，θ）の

D＝｛（ｒ，θ）｜$0\leqq r\leqq 2\sin \theta ,0\leqq \theta \leqq \dfrac {\pi }{2}$｝なので

 

 

 

$\int \int _{D}xy^{2}dxdy=\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\int ^{2\sin \theta }_{0}r\cos\theta \left( r\sin \theta \right) ^{2}rdrd\theta$

 

 

 

$=\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\sin ^{2}\theta \cos \theta d\theta \int ^{2\sin \theta }_{0}r^{4}dr=\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\sin ^{2}\theta \cos \theta \cdot \left[ \dfrac {r^{5}}{5}\right] ^{2\sin \theta }_{0}d\theta$

 

 

 

$=\dfrac {32}{5}\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\sin ^{7}\theta  \cos \theta d\theta=\dfrac {32}{5}\times \left[ \dfrac {\sin ^{8}\theta }{8}\right] ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}=\dfrac {4}{5}$・・・答え

 

 

 

 

 

別解

 

 

領域Dは上図の色付きの部分で、$0\leqq x\leqq \sqrt {2y-y^{2}},0\leqq y\leqq 2$から

 

 

$\int \int _{D}xy^{2}dxdy=\int ^{2}_{0}\left\{ \int ^{\sqrt {2y-y^{2}}}_{0}xy^{2}dx\right\} dy$である。

 

 

ここで

 

 

$\int ^{\sqrt {2y-y}2}_{0}xy^{2}dx=\left[ \dfrac {y^{2}}{2}x^{2}\right] ^{\sqrt {2y-y^{2}}}_{0}=\dfrac {2y^{3}-y^{4}}{2}$

 

 

$\int \int _{D}xy^{2}dxdy=\dfrac {1}{2}\int ^{2}_{0}\left( 2y^{3}-y^{4}\right) dy=\dfrac {1}{2}\left[ \dfrac {y^{4}}{2}-\dfrac {y^{5}}{5}\right] ^{2}_{0}$

 

 

$=\dfrac {1}{2}\left( 8-\dfrac {32}{5}\right) =\dfrac {4}{5}$・・・答え