ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

ｘｙ平面内の領域内　D＝｛（ｘ，ｙ）|[math]0\leqq 3x-2y\leqq 4,5\leqq -2x+5y\leqq 6[/math]｝について次の重積分を計算します。ただし。ｅは自然対数の底を表します。

[math]\int \int _{D}\left( -6x^{2}+19xy-10y^{2}\right) e^{3x-2y}dxdy[/math]

[math]3x-2y=u[/math]　[math]-2x+5y=v[/math]　とおくと

[math]\begin{aligned}x=\dfrac {5n+2v }{11}\ y=\dfrac {2u+3v}{11}\end{aligned}[/math]　　となる。

ヤコビアンは　　[math]\dfrac {\partial \left( x,y\right) }{\partial \left( u\cdot v\right) }=\begin{vmatrix} \dfrac {5}{11} & \dfrac {2}{11} \\ \dfrac {2}{11} & \dfrac {3}{11} \end{vmatrix}=\dfrac {1}{11}[/math]

u , v に置き換えて、問題の２重積分を計算すると

[math]\begin{aligned}\int \int e^{u}\cdot u\cdot v\cdot \dfrac {1}{11}dudv\ =\dfrac {1}{11}\int ^{4}_{0}ue^{u}du\cdot \int ^{6}_{5}vdv\end{aligned}[/math]　・・・（１）

ここで　　[math]\int ue^{u}du=ue^{u}-\int e^{u}du=\left( u-1\right) e^{u}[/math]

となるので（１）式は

[math]\dfrac {1}{11}\cdot \left[ \left( u-1\right) e^{u}\right] ^{4}_{0}\left[ \dfrac {v^{2}}{2}\right] ^{6}_{5}[/math]

[math]=\dfrac {1}{11}\cdot \left( 3e^{4}+1\right) \cdot \dfrac {11}{2}=\dfrac {3e^{4}+1}{2}[/math]・・・答え