ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

[math]x^{2}+y^{2}\leqq z\leq 2x[/math]　の領域で３重積分

[math]\iiint _{D}dxdydz[/math]  を求める。

解答例１

[math]\begin{aligned}x=r\cos \theta +1\\ y=r\sin \theta\end{aligned}[/math]

とおいて円筒座標変換すると、

[math]\iiint _{D}dxdydz=\int d\theta \int rdr\int dz[/math]

[math]=\int ^{2 \pi }_{0}d\theta \int ^{1}_{0}rdr\int ^{2r\cos \theta +2}_{r^{2}+2r\cos \theta +1}dz[/math]

積分を求めると

[math]=２\pi \left[ \dfrac {1}{2}r^{2}-\dfrac {1}{4}r^{4}\right] ^{1}_{0}=\dfrac {\pi }{2}[/math]

解答例２

[math]x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta [/math]

とおいて、積分すると

[math]\int d\theta \int rdr\int dz\\[/math]

[math]=\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{-\dfrac {\pi }{2}}d\theta\int ^{2\cos \theta }_{0}rdr\int ^{2r\cos }_{r^{2}}dz[/math]

[math] =\pi \left[ \dfrac {2r^{3}\cos \theta }{3}-\dfrac {r^{4}}{4}\right] ^{2\cos \theta }_{0}[/math]

[math] =\dfrac {\pi }{2}[/math]