ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$x^{2}+y^{2}\leqq z\leq 2x$　の領域で３重積分

$\iiint _{D}dxdydz$  を求める。

解答例１

$\begin{aligned}x=r\cos \theta +1\\ y=r\sin \theta\end{aligned}$

とおいて円筒座標変換すると、

$\iiint _{D}dxdydz=\int d\theta \int rdr\int dz$

$=\int ^{2 \pi }_{0}d\theta \int ^{1}_{0}rdr\int ^{2r\cos \theta +2}_{r^{2}+2r\cos \theta +1}dz$

積分を求めると

$=２\pi \left[ \dfrac {1}{2}r^{2}-\dfrac {1}{4}r^{4}\right] ^{1}_{0}=\dfrac {\pi }{2}$

解答例２

$x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta$

とおいて、積分すると

$\int d\theta \int rdr\int dz\\$

$=\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{-\dfrac {\pi }{2}}d\theta\int ^{2\cos \theta }_{0}rdr\int ^{2r\cos }_{r^{2}}dz$

$=\pi \left[ \dfrac {2r^{3}\cos \theta }{3}-\dfrac {r^{4}}{4}\right] ^{2\cos \theta }_{0}$

$=\dfrac {\pi }{2}$