ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

 

 

公式         [math]\det \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix}=\det \left( A+B\right) \det \left( A-B\right)[/math]    を使う。

 

 

 

(1)

 

[math]\begin{pmatrix} a & o & a & o \\ o & a & o & a \\ a & o & a & 0 \\ 0 & a & o & a \end{pmatrix}[/math]　　　の固有値を求める。

 

固有方程式

 

[math]\det \begin{pmatrix} a-\lambda & o & a & 0 \\ 0 & a-\lambda & 0 & a \\ a & o & a-\lambda & 0 \\ 0 & a & o & a-\lambda \end{pmatrix}[/math]

 

 

 

[math]=\det \begin{pmatrix} 2a-\lambda & 0 \\ 0 & 2a-\lambda \end{pmatrix}\det \begin{pmatrix} -\lambda & 0 \\ 0 & -\lambda \end{pmatrix}[/math]

 

 

 

[math]=\lambda ^{2}\left( 2a-\lambda \right) ^{2}=0[/math]

 

 

０,      2a・・・(1)の答え

 

 

 

（２）

 

 

 

[math]\det \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 0 & a \\ a & -\lambda & a & 0 \\ 0 & a & -\lambda & 0 \\ a & o & a & -\lambda \end{pmatrix}=0[/math]　　　の固有方程式を求める。

 

 

 

 

公式より

 

 

[math]det \begin{pmatrix} -\lambda & 2a \\ 2a & -\lambda \end{pmatrix}\det \begin{pmatrix} -\lambda & 0 \\ 0 & -\lambda \end{pmatrix}=\lambda ^{2}\left( \lambda ^{2}-4a^{2}\right) =0[/math]

 

 

 

固有値は[math]\pm 2a,0[/math]・・・答え

 

 

 

参考事項

 

公式の導き方

 

 

第２行を第１行に加える。

 

[math]det \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} A+B & B+A \\ B & A \end{pmatrix}[/math]

 

 

 

第１列を第２列から引く

 

[math]=\det \begin{pmatrix} A+B & O \\ B & A-B \end{pmatrix}[/math]