ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$x^{4}+y^{4}+z^{4}-2x^{2}y^{2}-2y^{2}z^{2}-2z^{2}x^{2}$の式を

$x+y+z=p,xy+yz+zx=q,xyz=r$とおいて、

上の式をｐ,ｑ,ｒで表す。

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=\left( x+y+z\right) ^{2}-2xy-2yz-2zx=p^{2}-2q$

また同様に

$x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}=\left( xy+yz+zx\right) ^{2}-2\left( xy^{2}z+xyz^{2}+x^{2}yz\right)=q^{2}-2pr$

$x^{4}+y^{4}+z^{4}=\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{2}-2\left( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}\right)$

したがって

$x^{4}+y^{4}+z^{4}-2x^{2}y^{2}-2y^{2}z^{2}-2z^{2}x^{2}$

$=\left( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ^{2}-4\left( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\right)$

$=\left( p^{2}-2q\right) ^{2}-4\left( q^{2}-2pr\right) =p^{4}-4p^{2}q+8pr$　・・・答え