ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

[math]\sqrt [3] {6+\sqrt {\dfrac {980}{27}}}+\sqrt [3] {6-\sqrt {\dfrac {980}{27}}}[/math]　

 

 

 

 

 

 

 

①

この数が解になる３次方程式を求める。

 

 

[math]x=\sqrt [3] {6+\sqrt {\dfrac {980}{27}}}+\sqrt [3] {6-\sqrt {\dfrac {980}{27}}}[/math]　

 

 

 

[math]x^{3}=\left( 6+\sqrt {\dfrac {980}{27}}\right) +\left( 6-\sqrt {\dfrac {980}{27}}\right)+3\sqrt [3] {6+\sqrt {\dfrac {980}{27}}}\sqrt [3] {6-\sqrt {\dfrac {980}{27}}}\left( \sqrt [3] {6+\sqrt {\dfrac {980}{27}}}+\sqrt [3] {6-\sqrt {\dfrac {980}{27}}}\right)[/math]　              （下記の公式参照）

 

 

 

[math]=12+3x\sqrt [3] {36-\dfrac {980}{27}}[/math]

 

 

 

[math]=12+\sqrt [3] {972-980}x=12-2x[/math]

 

 

 

これより

 

 

[math]x^{3}+2x-12=0[/math]・・・答え

 

 

 

②　①で求めた方程式より[math]\sqrt [3] {6+\sqrt {\dfrac {980}{27}}}+\sqrt [3] {6-\sqrt {\dfrac {980}{27}}}[/math]　を簡単にする。

 

 

 

 

[math]f\left( x\right) =x^{3}+2x-12[/math]とおいて、

 

 

[math]f\left( 2\right) =2^{3}+2\times 2-12=0[/math]

 

 

因数定理より（ｘ－２）が因数になるので

 

 

[math]x^{3}+2x-12=\left( x-2\right) \left( x^{2}+2x+6\right) =0[/math]

 

 

 

[math]x^{2}+2x+6=0\Rightarrow x=-1\pm \sqrt {5}i[/math]より実数の解ではない。

 

 

 

実数の解はｘ＝２だけになる。

 

 

[math]x=2[/math]・・・答え

 

 

 

 

公式

 

 

[math]\left( a+b\right) ^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab\left( a+b\right)[/math]