ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

次の行列式を計算し、実数の範囲で因数分解の形で答えなさい。

 

[math]\begin{vmatrix} 0 & 1 & x & x & 1 \\ 1 & 0 & 1 & x & x \\ x & 1 & 0 & 1 & x \\ x & x & 1 & 0 & 1 \\ 1 & x & x & 1 & 0 \end{vmatrix}[/math]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

上の行列式の第１行に２行、３行、４行、５行を加える。

 

 

[math]\begin{vmatrix} 2\left( x+1\right) & 2\left( x+1\right) & 2\left( x+1\right) 2 & \left( x+1\right) & 2\left( x+1\right) \\ 1 & 0 & 1 & x & x \\ x & 1 & 0 & 1 & x \\ x & x & 1 & 0 & 1 \\ 1 & x & x & 1 & 0 \end{vmatrix}=2\left( x+1\right) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & x & x \\ x & 1 & 0 & 1 & x \\ x & x & 1 & 0 & 1 \\ 1 & x & x & 1 & 0 \end{vmatrix}[/math]

 

 

 

２行と５行から１行を引く。３行と４行から１行目のｘ倍を引く。

 

 

 

[math]=2\left( x+1\right) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & x-1 & x-1 \\ 0 & 1-x & -x & 1-x & 0 \\ 0 & 0 & 1-x & -x & 1-x \\ 0 & x-1 & x-1 & 0 & 1 \end{vmatrix}[/math]

 

 

 

第１列で展開して

 

 

[math]=2\left( x+1\right) \begin{vmatrix} -1 & 0 & x-1 & x-1 \\ 1-x & -x & 1-x & 0 \\ 0 & 1-x & -x & 1-x \\ x-1 & x-1 & 0 & 1 \end{vmatrix}[/math]

 

 

 

２行目からを１行目×（ｘ－１）を引く。４行目に２行目をたす。

 

 

 

[math]=2\left( x+1\right) \begin{vmatrix} -1 & 0 & x-1 & x-1 \\ 0 & -x & x(1-x) & -(x-1)^{2} \\ 0 & 1-x & -x & 1-x \\ 0 & -1 & 1-x & -1 \end{vmatrix}[/math]

 

 

 

 

第１列目を展開する。

 

 

 

[math]=2\left( x+1\right) \begin{vmatrix} x & x(x-1) & (x-1)^{2} \\ x-1 & x & x-1 \\ 1 & x-1 & 1 \end{vmatrix}[/math]

 

 

１行目から２行目の（ｘ－１）倍を引く。

 

 

[math]=2\left( x+1\right) \begin{vmatrix} x-(x-1)^{2} & 0 & 0 \\ x-1 & x & x-1 \\ 1 & x-1 & 1 \end{vmatrix}[/math]

 

 

 

 

[math]=2\left( x+1\right) \left\{ x-\left( x-1\right) ^{2}\right\} \cdot \begin{vmatrix} x & x-1 \\ x-1 & 1 \end{vmatrix}[/math]

 

 

 

[math]=2\left( x+1\right) \left\{ x-\left( x-1\right) ^{2}\right\} \left\{ x-\left( x-1\right) ^{2}\right\}[/math]

 

 

 

[math]=2\left( x+1\right) \left( x^{2}-3x+1\right) ^{2}[/math]

 

 

 

[math]=2\left( x+1\right) \left( x-\dfrac {3-\sqrt {5}}{2}\right) ^{2}\left( x-\dfrac {3+\sqrt {5}}{2}\right) ^{2}[/math]・・・答え