
xy平面内の領域内 D={(x,y)|0≦3x−2y≦4,5≦−2x+5y≦6}について次の重積分を計算します。ただし。eは自然対数の底を表します。
∫∫D(−6x2+19xy−10y2)e3x−2ydxdy
3x−2y=u −2x+5y=v とおくと
x=5n+2v11 y=2u+3v11 となる。
ヤコビアンは ∂(x,y)∂(u⋅v)=|511211211311|=111
u , v に置き換えて、問題の2重積分を計算すると
∫∫eu⋅u⋅v⋅111dudv =111∫40ueudu⋅∫65vdv ・・・(1)
ここで ∫ueudu=ueu−∫eudu=(u−1)eu
となるので(1)式は
111⋅[(u−1)eu]40[v22]65
=111⋅(3e4+1)⋅112=3e4+12・・・答え
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