ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

微分方程式[math]\dfrac {dy}{dx}=y\left( 1-y\right)[/math]を、初期条件[math]y\left( 0\right) =\dfrac {1}{2}[/math]の下で解く。

[math]\dfrac {dy}{dx}=y\left( 1-y\right)[/math]を変数分離形で解く。

[math]\int \dfrac {1}{y\left( 1-y\right) }dy=\int dx[/math]

[math]\int \left( \dfrac {1}{y}-\dfrac {-1}{1-y}\right) dy=x+c[/math]

[math]\log _{e}\left| y\right| -\log _{e}\left| 1-y\right| =\log _{e}\left| \dfrac {y}{1-y}\right|[/math]より

[math]\left| \dfrac {y}{1-y}\right| =e^{x+c}[/math]

[math]\dfrac {y}{1-y}=\pm e^{x+c}=Ae^{x+c} [/math] [math]( A= \pm e^{c})[/math]とおくと

[math]\dfrac {y}{1-y}=Ae^{x}\Rightarrow y=\dfrac {Ae^{x}}{1+Ae^{x}}[/math]・・・①

初期条件より

[math]y\left( 0\right) =\dfrac {A}{1+A}=\dfrac {1}{2}\Rightarrow A=1[/math]

これを①に代入すると、

[math]y=\dfrac {e^{x}}{1+e^{x}}[/math]（eは自然対数）・・・答え