ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

微分方程式$\dfrac {dy}{dx}=y\left( 1-y\right)$を、初期条件$y\left( 0\right) =\dfrac {1}{2}$の下で解く。

$\dfrac {dy}{dx}=y\left( 1-y\right)$を変数分離形で解く。

$\int \dfrac {1}{y\left( 1-y\right) }dy=\int dx$

$\int \left( \dfrac {1}{y}-\dfrac {-1}{1-y}\right) dy=x+c$

$\log _{e}\left| y\right| -\log _{e}\left| 1-y\right| =\log _{e}\left| \dfrac {y}{1-y}\right|$より

$\left| \dfrac {y}{1-y}\right| =e^{x+c}$

$\dfrac {y}{1-y}=\pm e^{x+c}=Ae^{x+c}$ $( A= \pm e^{c})$とおくと

$\dfrac {y}{1-y}=Ae^{x}\Rightarrow y=\dfrac {Ae^{x}}{1+Ae^{x}}$・・・①

初期条件より

$y\left( 0\right) =\dfrac {A}{1+A}=\dfrac {1}{2}\Rightarrow A=1$

これを①に代入すると、

$y=\dfrac {e^{x}}{1+e^{x}}$（eは自然対数）・・・答え