微分方程式１６の解説

[math]y\left( 0\right) =0,y'\left( 0\right) =1[/math] のとき

[math]\left\{ \left( y'\right) ^{2}\right\}'+2y'e^{-2y}=0[/math] を解く。

両辺を積分する。

[math]\int \left\{ \left( y'\right) ^{2}\right\}' dx+\int 2y'e^{-2y}dx=\int 0　dx[/math]

これを解いて

[math]\left( y'\right) ^{2}-e^{-2y}=A[/math]（Aは積分定数）

[math]y\left( 0\right) =0,y'\left( 0\right) =1[/math]より　A＝０

[math]\left( y'\right) ^{2}=e^{-2y}[/math]

[math]y'=\pm e^{-y}[/math]

[math]y'\left( 0\right) =1\rightarrow y'=e^{-y}[/math]

[math]e^{y}\cdot y'=1\rightarrow e^{y}=x+B[/math]（Bは積分定数）

[math]y\left( 0\right) =0\rightarrow 1-0=B[/math]

[math]y=\log _{e}\left( x+1\right)[/math]・・・答え

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