ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$y\left( 0\right) =0,y'\left( 0\right) =1$ のとき

$\left\{ \left( y'\right) ^{2}\right\}'+2y'e^{-2y}=0$ を解く。

両辺を積分する。

$\int \left\{ \left( y'\right) ^{2}\right\}' dx+\int 2y'e^{-2y}dx=\int 0　dx$

これを解いて

$\left( y'\right) ^{2}-e^{-2y}=A$（Aは積分定数）

$y\left( 0\right) =0,y'\left( 0\right) =1$より　A＝０

$\left( y'\right) ^{2}=e^{-2y}$

$y'=\pm e^{-y}$

$y'\left( 0\right) =1\rightarrow y'=e^{-y}$

$e^{y}\cdot y'=1\rightarrow e^{y}=x+B$（Bは積分定数）

$y\left( 0\right) =0\rightarrow 1-0=B$

$y=\log _{e}\left( x+1\right)$・・・答え