
次の連立微分方程式を解く。
[math]\begin{cases}\dfrac {dx}{dt}=3x\left( t\right) +y\left( t\right) \ldots \left( 1\right) \\ \dfrac {dy}{dt}=x\left( t\right) +3y\left( t\right) \ldots \left( 2\right) \end{cases}[/math]
(1)+(2)より
[math]\dfrac {d\left( x+y\right) }{dt}=4x+4y=4\left( x+y\right)[/math]
[math]\dfrac {1}{\left( x+y\right) } d\left( x+y\right) =4dt[/math]
両辺を積分して
[math]\log _{e}\left( x+y\right) =4t+a\Rightarrow x+y=Ae^{4t}[/math](Aは積分定数)・・・(3)
次に(1)-(2)より
[math]\dfrac {d\left( x-y\right) }{dt}=2\left( x-y\right) \Rightarrow \dfrac {d\left( x-y\right) }{\left( x-y\right) }=2dt[/math]
両辺を積分して
[math]\log _{e}\left( x-y\right) =2t+b\Rightarrow x-y=Be^{2}[/math](Bは積分定数)・・・(4)
(3)+(4)と(3)-(4)より
[math]x\left( t\right) =\dfrac {Ae^{4t}+Be^{2t}}{2},y\left( t\right) =\dfrac {Ae^{4t}-Be^{2t}}{2}[/math]
[math]\dfrac {A}{2}=C,\dfrac {B}{2}=D[/math]とおけば
[math]x\left( t\right) =Ce^{4t}+De^{2t},y\left( t\right) =C^{4t}-De^{2t}[/math]・・・答え
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