ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$2yy''=\left( y'\right) ^{2}-1$ 　　　　　この微分方程式の一般解を求めよ。

$y'=\dfrac{dy}{dx}=p$とおくと

$y''=p'=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\dfrac{dy}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}$

上の式をこの微分方程式に代入すると

$2yp\dfrac{dp}{dy}=p^{2}-1$となる。

変数分離してこの微分方程式を解いていく。

$\dfrac{2p}{p^{2}-1}dp=\dfrac{1}{y}dy$

$\int \dfrac{2p}{p^{2}-1}dp=\int \dfrac{1}{y}dy+c$

$\log _{e}\left( p^{2}-1\right) =\log _{e}y+c$なので

$p^{2}-1=c_{1}y\rightarrow p^{2}=c_{1}y+1$

$p=\pm \sqrt{c_{1}y+1}$

ここでpを元に戻して

$\dfrac{dy}{dx}=\pm \sqrt{c_{1}y+1}$

変数分離より方程式を解くと

$\pm \int \dfrac{dy}{\sqrt{c_{1}y+1}}=x+c_{2}$

$\pm \dfrac{2\sqrt{c_{1}y+1}}{c_{1}}=x+c_{2}$

$c_{1}\neq 0\Rightarrow y=\dfrac{c_{1}}{4}\left( x+c_{2}\right) ^{2}-\dfrac{1}{c_{1}}$・・・答え

$c_{1}=0\Rightarrow y=\pm x+c_{2}$・・・答え