ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

[math]2yy''=\left( y'\right) ^{2}-1[/math] 　　　　　この微分方程式の一般解を求めよ。

[math]y'=\dfrac{dy}{dx}=p[/math]とおくと

[math]y''=p'=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\dfrac{dy}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}[/math]

上の式をこの微分方程式に代入すると

[math]2yp\dfrac{dp}{dy}=p^{2}-1[/math]となる。

変数分離してこの微分方程式を解いていく。

[math]\dfrac{2p}{p^{2}-1}dp=\dfrac{1}{y}dy[/math]

[math]\int \dfrac{2p}{p^{2}-1}dp=\int \dfrac{1}{y}dy+c[/math]

[math]\log _{e}\left( p^{2}-1\right) =\log _{e}y+c[/math]なので

[math]p^{2}-1=c_{1}y\rightarrow p^{2}=c_{1}y+1[/math]

[math]p=\pm \sqrt{c_{1}y+1}[/math]

ここでpを元に戻して

[math]\dfrac{dy}{dx}=\pm \sqrt{c_{1}y+1}[/math]

変数分離より方程式を解くと

[math]\pm \int \dfrac{dy}{\sqrt{c_{1}y+1}}=x+c_{2}[/math]

[math]\pm \dfrac{2\sqrt{c_{1}y+1}}{c_{1}}=x+c_{2}[/math]

[math]c_{1}\neq 0\Rightarrow y=\dfrac{c_{1}}{4}\left( x+c_{2}\right) ^{2}-\dfrac{1}{c_{1}}[/math]・・・答え

[math]c_{1}=0\Rightarrow y=\pm x+c_{2}[/math]・・・答え