ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

ｘｙｚ空間に３点　０（０，０，０），A（１，－１，０），B（１，０，－１）がある。３次正方行列[math]\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}[/math]の表す１次変換をｆとし、ｆによる点A，Bの像をそれぞれC，Dとするとき、△OCDの面積は△OAB面積の何倍になるかを求めていく。

点C，Dの座標を求める。

点Cの座標は

[math]\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}[/math]

点Dの座標は

[math]\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/math]

△OCDの面積は△OAB面積の比は

[math]\overrightarrow {OA}=\left( 1,-1,0\right) ,\overrightarrow {OB}=\left( 1,0,-1\right) ,\overrightarrow {OC}=\left( 2,-1,-1\right) ,\overrightarrow {OD}=\left( 3,-1,1\right)[/math]

として、ベクトルの外積の大きさの比をとる。

[math]\overrightarrow {OA}\times \overrightarrow {OB}=\left( 1,1,1\right) ,\overrightarrow {OC}\times \overrightarrow {OD}=\left( -2,-5,1\right)[/math]

より

[math]\dfrac {\left| \overrightarrow {OC}\times \overrightarrow {OD}\right| }{\left| \overrightarrow {OA}\times \overrightarrow {OB}\right| }=\dfrac {\sqrt {30}}{\sqrt {3}}=\sqrt {10}[/math]・・・答え