ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

空間内の4点O(0，0，0),A(-1,-2,-1),B(1,-2,-1),C(2,-1,3)である。

 

 

①　線分OA，OBを隣り合う2辺にもつ平行四辺形の面積を求める。

 

外積$\overrightarrow {OA}\times \overrightarrow {OB}$の大きさが$\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB}$の定める平行四辺形の面積なので

 

 

 

$\overrightarrow {OA}\times \overrightarrow {OB}$＝（－１，０，２）×（１，ー２，ー１）

 

 

＝$\left( \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}\right)$＝（４，１，２）

 

 

 

よって

 

 

$\left| \overrightarrow {OA}\times \overrightarrow {OB}\right| =\sqrt {4^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt {21}$

 

 

①の答え　　$\sqrt {21}$

 

 

 

 

 

 

 

 

②　線分OA，OB，OCを隣り合う３辺にもつ平行六面体の体積を求める。

 

 

 

 

$\left| \left( \overrightarrow {OA}\times \overrightarrow {OB}\right) \cdot \overrightarrow {OC}\right|$の値が$\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB},\overrightarrow {OC}$の定める平行六面体の体積なので

 

 

 

$\left| \left( \overrightarrow {OA}\times \overrightarrow {OB}\right) \cdot \overrightarrow {OC}\right|=\left| \left( 4,1,2\right) \cdot \left( 2,-1,3\right) \right|$

 

 

 

$=\left| 4\cdot 2+1\cdot \left( -1\right) +2\cdot 3\right| =\left| 13\right| =13$

 

 

②の答え　　１３

 

 

 

 

 

②の別解

 

 

$\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB},\overrightarrow {OC}$の定める平行六面体の体積は

 

 

$V=\begin{vmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}$

 

 

第１行目を余因子展開して

 

 

$=-1\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}+0+2\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=7+6=13$

 

 

 

１３　　・・・②の答え