
空間内の4点O(0,0,0),A(-1,-2,-1),B(1,-2,-1),C(2,-1,3)である。
① 線分OA,OBを隣り合う2辺にもつ平行四辺形の面積を求める。
外積[math]\overrightarrow {OA}\times \overrightarrow {OB}[/math]の大きさが[math]\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB}[/math]の定める平行四辺形の面積なので
[math]\overrightarrow {OA}\times \overrightarrow {OB}[/math]=(-1,0,2)×(1,ー2,ー1)
=[math]\left( \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}\right)[/math]=(4,1,2)
よって
[math]\left| \overrightarrow {OA}\times \overrightarrow {OB}\right| =\sqrt {4^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt {21}[/math]
①の答え [math] \sqrt {21}[/math]
② 線分OA,OB,OCを隣り合う3辺にもつ平行六面体の体積を求める。
[math]\left| \left( \overrightarrow {OA}\times \overrightarrow {OB}\right) \cdot \overrightarrow {OC}\right|[/math]の値が[math]\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB},\overrightarrow {OC}[/math]の定める平行六面体の体積なので
[math]\left| \left( \overrightarrow {OA}\times \overrightarrow {OB}\right) \cdot \overrightarrow {OC}\right|=\left| \left( 4,1,2\right) \cdot \left( 2,-1,3\right) \right|[/math]
[math]=\left| 4\cdot 2+1\cdot \left( -1\right) +2\cdot 3\right| =\left| 13\right| =13[/math]
②の答え 13
②の別解
[math]\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB},\overrightarrow {OC}[/math]の定める平行六面体の体積は
[math] V=\begin{vmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}[/math]
第1行目を余因子展開して
[math]=-1\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}+0+2\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=7+6=13[/math]
13 ・・・②の答え
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