ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

ｘは独立変数、ｙは未知変数とする微分方程式[math]y''-4y'+4y=4x[/math]を、初期条件ｘ＝０のとき、ｙ＝－１，[math]y'=1[/math]の場合で解く。

 

 

 

 

 

 

[math]y''-4y'+4y=4x[/math]・・・（１）

 

（１）の同次方程式

 

[math]y''-4y'+4y=０[/math]・・・（２）

 

（２）の特性方程式[math]\lambda ^{2}-4\lambda +4=0\Rightarrow \left( \lambda -2\right) ^{2}=0\Rightarrow \lambda =2[/math]（重解）

 

 

よって（２）の一般解は

 

[math]y=c_{1}e^{2x}+c_{2}xe^{2x}( c_{1},c_{2}[/math]は定数）・・・（３）

 

 

未定係数法で特殊解を求める。

 

 

（１）の特殊解を[math]y_{0}=ax+b[/math]として、（１）の微分方程式に代入すると、

 

 

[math]-4a+4\left( ax+b\right) =4x[/math]

 

 

[math]ax+\left( b-a\right) =x[/math]　

 

 

a＝１，ｂ＝１　で特殊解は

 

 

[math]y_{0}=x+1[/math]が求まる。

 

 

 

D演算子によって特殊解を求める場合

 

[math]\left( D^{2}-4D+4\right) y_{0}=4x[/math]

 

 

[math]y_{0}=\dfrac {4x}{4-4D+D^{2}}=\dfrac {4x}{4\left\{ 1-\left( D-\dfrac {D^{2}}{4}\right) \right\} }[/math]

 

 

[math]=x\left( 1+\left( D-\dfrac {D^{2}}{4}\right) +\ldots \right)=x+1[/math]

 

 

 

よって、（１）の一般解は（３）＋（４）で

 

 

[math]y=c_{1}e^{2x}+c_{2}xe^{2x}+x+1[/math]

 

 

 

次に初期条件より

 

 

[math]y\left( 0\right) =c_{1}+1=-1[/math]

 

 

[math]y'\left( 0\right) =2c_{1}+c_{2}+1=1[/math]

 

 

２つの式より

 

[math]C_{1}=-2,C_{2}=4[/math]

 

 

[math]y=-2e^{2x}+4xe^{2x}+x+1[/math]・・・答え

 

 

 

 

 

次の微分方程式を未定係数法で解く。

 

[math]y\left( 0\right) =1,y'\left( 0\right) =0[/math]のとき

 

 

[math]y'+4y=e^{x}[/math]　の微分方程式を解く。

 

 

[math]y=Ae^{x}[/math]とおいて、

 

 

 

[math]y''+4y[/math]に代入すると

 

 

[math]Ae^{x}+4Ae^{x}=e^{x}[/math]

 

 

[math]A=\dfrac {1}{5}[/math]

 

 

特殊解は　[math]y_{0}=\dfrac {1}{5}e^{x}[/math]になる。

 

また、特性方程式を解くと

 

[math]\lambda ^{2}+4=0\Rightarrow \lambda =\pm 2i[/math]　したがって

 

 

一般解は　[math]y=B\cos 2x+C\sin2x [/math]となる。

 

 

よって求める方程式は

 

[math]y=B\cos 2x+C\sin2x＋\dfrac {1}{5}e^{x}[/math]

 

 

この式を[math]y\left( 0\right) =1,y'\left( 0\right) =0[/math]にいれると

 

 

[math]B+\dfrac {1}{5}=1,2C+\dfrac {1}{5}=0[/math]

 

 

[math]B=\dfrac {4}{5},C=-\dfrac {1}{10}[/math]

 

 

[math]y=\dfrac {4}{5}\cos 2x-\dfrac {1}{10}\sin2x+\dfrac {e^{x}}{5}[/math]・・・答え