ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

ｘは独立変数、ｙは未知変数とする微分方程式$y''-4y'+4y=4x$を、初期条件ｘ＝０のとき、ｙ＝－１，$y'=1$の場合で解く。

 

 

 

 

 

 

$y''-4y'+4y=4x$・・・（１）

 

（１）の同次方程式

 

$y''-4y'+4y=０$・・・（２）

 

（２）の特性方程式$\lambda ^{2}-4\lambda +4=0\Rightarrow \left( \lambda -2\right) ^{2}=0\Rightarrow \lambda =2$（重解）

 

 

よって（２）の一般解は

 

$y=c_{1}e^{2x}+c_{2}xe^{2x}( c_{1},c_{2}$は定数）・・・（３）

 

 

未定係数法で特殊解を求める。

 

 

（１）の特殊解を$y_{0}=ax+b$として、（１）の微分方程式に代入すると、

 

 

$-4a+4\left( ax+b\right) =4x$

 

 

$ax+\left( b-a\right) =x$　

 

 

a＝１，ｂ＝１　で特殊解は

 

 

$y_{0}=x+1$が求まる。

 

 

 

D演算子によって特殊解を求める場合

 

$\left( D^{2}-4D+4\right) y_{0}=4x$

 

 

$y_{0}=\dfrac {4x}{4-4D+D^{2}}=\dfrac {4x}{4\left\{ 1-\left( D-\dfrac {D^{2}}{4}\right) \right\} }$

 

 

$=x\left( 1+\left( D-\dfrac {D^{2}}{4}\right) +\ldots \right)=x+1$

 

 

 

よって、（１）の一般解は（３）＋（４）で

 

 

$y=c_{1}e^{2x}+c_{2}xe^{2x}+x+1$

 

 

 

次に初期条件より

 

 

$y\left( 0\right) =c_{1}+1=-1$

 

 

$y'\left( 0\right) =2c_{1}+c_{2}+1=1$

 

 

２つの式より

 

$C_{1}=-2,C_{2}=4$

 

 

$y=-2e^{2x}+4xe^{2x}+x+1$・・・答え

 

 

 

 

 

次の微分方程式を未定係数法で解く。

 

$y\left( 0\right) =1,y'\left( 0\right) =0$のとき

 

 

$y'+4y=e^{x}$　の微分方程式を解く。

 

 

$y=Ae^{x}$とおいて、

 

 

 

$y''+4y$に代入すると

 

 

$Ae^{x}+4Ae^{x}=e^{x}$

 

 

$A=\dfrac {1}{5}$

 

 

特殊解は　$y_{0}=\dfrac {1}{5}e^{x}$になる。

 

また、特性方程式を解くと

 

$\lambda ^{2}+4=0\Rightarrow \lambda =\pm 2i$　したがって

 

 

一般解は　$y=B\cos 2x+C\sin2x$となる。

 

 

よって求める方程式は

 

$y=B\cos 2x+C\sin2x＋\dfrac {1}{5}e^{x}$

 

 

この式を$y\left( 0\right) =1,y'\left( 0\right) =0$にいれると

 

 

$B+\dfrac {1}{5}=1,2C+\dfrac {1}{5}=0$

 

 

$B=\dfrac {4}{5},C=-\dfrac {1}{10}$

 

 

$y=\dfrac {4}{5}\cos 2x-\dfrac {1}{10}\sin2x+\dfrac {e^{x}}{5}$・・・答え