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複素数10の解説


[math]iz^{2}+2\left( 1-i\right) z+2=0[/math]       このzの2次方程式の複素数解を求める。

 

 

 

 

両辺に-iをかけると

 

 

 

[math]z^{2}-2\left( 1+i\right) z-2i=0[/math]

 

 

2次方程式の解の公式より

 

 

[math]z=1+i\pm \sqrt {\left( 1+i\right) ^{2}+2i}=1+i\pm \sqrt {4i}[/math]

 

 

ここでa,bを実数として

 

 

[math]\sqrt {4i}=a+bi[/math] とおく。

 

 

両辺を2乗すると、

 

 

[math]4i=a^{2}-b^{2}+2abi[/math]

 

 

 

[math]a^{2}-b^{2}=0,ab=2\Rightarrow a=b=\pm \sqrt {2}[/math]

 

 

 

したがって、

 

 

 

[math]\sqrt {4i}=\pm \left( \sqrt {2}+\sqrt {2}i\right)[/math]

 

 

[math]z=1+i\pm \sqrt {4i}=1\pm \sqrt {2}+\left( 1\pm \sqrt {2}\right) i[/math](複号同順)・・・答え

 

 

 

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