ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

ｚを複素数とします。このとき、ｚについての方程式　　$z^{2}-z+i\overline {z}=i$　を解きます。ただし、iは虚数の単位、$\overline {z}$はｚの共役複素数を表します。

ｚ＝a＋ｂi（a，ｂは実数）,$\overline {z}=a-bi$  として、上式に代入する。

$a^{2}-b^{2}+2abi-a-bi+i\left( a-bi\right) =i$

$a^{2}-b^{2}-\left( a-b\right) +\left( 2ab+a-b\right) i=i$

実数と虚数で方程式を作ると、

実数・・・$\left( a-b\right) \left( a+b-1\right) =0$・・・①

虚数・・・$2ab+a-b=1$・・・②

①より

$a-b=0\Rightarrow a=b$ の場合

②式にa=bを代入すると、

$2x^{2}=1\Rightarrow x=\pm \dfrac {1}{\sqrt {2}}=y$

よって

$z=\dfrac {1}{\sqrt {2}}+\dfrac {1}{\sqrt {2}}i,-\dfrac {1}{\sqrt {2}}-\dfrac {1}{\sqrt {2}}i$

$a+b-1=0$の場合、b＝１－aを②式に代入すると、

２a（１－a）＋a－（１－a）＝１

$-2\left( a-1\right) ^{2}=0\Rightarrow a=1,b=0$

よって　　ｚ＝１　になる。

$z=1,\dfrac {1}{\sqrt {2}}+\dfrac {1}{\sqrt {2}}i,-\dfrac {1}{\sqrt {2}}-\dfrac {1}{\sqrt {2}}i$・・・答え