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zを複素数とします。このとき、zについての方程式 [math]z^{2}-z+i\overline {z}=i[/math] を解きます。ただし、iは虚数の単位、[math]\overline {z}[/math]はzの共役複素数を表します。
z=a+bi(a,bは実数),[math]\overline {z}=a-bi[/math] として、上式に代入する。
[math]a^{2}-b^{2}+2abi-a-bi+i\left( a-bi\right) =i[/math]
[math]a^{2}-b^{2}-\left( a-b\right) +\left( 2ab+a-b\right) i=i[/math]
実数と虚数で方程式を作ると、
実数・・・[math]\left( a-b\right) \left( a+b-1\right) =0[/math]・・・①
虚数・・・[math]2ab+a-b=1[/math]・・・②
①より
[math]a-b=0\Rightarrow a=b[/math] の場合
②式にa=bを代入すると、
[math]2x^{2}=1\Rightarrow x=\pm \dfrac {1}{\sqrt {2}}=y[/math]
よって
[math]z=\dfrac {1}{\sqrt {2}}+\dfrac {1}{\sqrt {2}}i,-\dfrac {1}{\sqrt {2}}-\dfrac {1}{\sqrt {2}}i[/math]
[math]a+b-1=0[/math]の場合、b=1-aを②式に代入すると、
2a(1-a)+a-(1-a)=1
[math]-2\left( a-1\right) ^{2}=0\Rightarrow a=1,b=0[/math]
よって z=1 になる。
[math]z=1,\dfrac {1}{\sqrt {2}}+\dfrac {1}{\sqrt {2}}i,-\dfrac {1}{\sqrt {2}}-\dfrac {1}{\sqrt {2}}i[/math]・・・答え
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