ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

ｚを複素数とします。このとき、ｚについての方程式　　[math]z^{2}-z+i\overline {z}=i[/math]　を解きます。ただし、iは虚数の単位、[math]\overline {z}[/math]はｚの共役複素数を表します。

ｚ＝a＋ｂi（a，ｂは実数）,[math]\overline {z}=a-bi[/math]  として、上式に代入する。

[math]a^{2}-b^{2}+2abi-a-bi+i\left( a-bi\right) =i[/math]

[math]a^{2}-b^{2}-\left( a-b\right) +\left( 2ab+a-b\right) i=i[/math]

実数と虚数で方程式を作ると、

実数・・・[math]\left( a-b\right) \left( a+b-1\right) =0[/math]・・・①

虚数・・・[math]2ab+a-b=1[/math]・・・②

①より

[math]a-b=0\Rightarrow a=b[/math] の場合

②式にa=bを代入すると、

[math]2x^{2}=1\Rightarrow x=\pm \dfrac {1}{\sqrt {2}}=y[/math]

よって

[math]z=\dfrac {1}{\sqrt {2}}+\dfrac {1}{\sqrt {2}}i,-\dfrac {1}{\sqrt {2}}-\dfrac {1}{\sqrt {2}}i[/math]

[math]a+b-1=0[/math]の場合、b＝１－aを②式に代入すると、

２a（１－a）＋a－（１－a）＝１

[math]-2\left( a-1\right) ^{2}=0\Rightarrow a=1,b=0[/math]

よって　　ｚ＝１　になる。

[math]z=1,\dfrac {1}{\sqrt {2}}+\dfrac {1}{\sqrt {2}}i,-\dfrac {1}{\sqrt {2}}-\dfrac {1}{\sqrt {2}}i[/math]・・・答え