ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

iは虚数単位とします。$\sqrt {1+\sqrt {3}i}+\sqrt {1-\sqrt {3}}i$を簡単にしなさい。ただし、外側の平方根はどちらも実数部が正の値をとるものとします。

$z=\sqrt {1+\sqrt {3}i}+\sqrt {1-\sqrt {3}}i$とおくと、

$z^{2}=\left( \sqrt {1+\sqrt {3}}i\right) ^{2}+\left( \sqrt {1-\sqrt {3}i}\right) ^{2}+2\sqrt {1+\sqrt {3}i}\sqrt {1-\sqrt {3}i}$

$=2+2\sqrt {1^{2}+3}=6$

$z^{2}=6\Rightarrow z=\pm \sqrt {6}$

$z >0\Rightarrow z=\sqrt {6}$

$\sqrt {6}$・・・答え

別解

$\sqrt {1+\sqrt {3}i}=\sqrt {2}-\sqrt {\dfrac {1+\sqrt {3}i}{2}}=\sqrt {2}\sqrt {\left( \cos \dfrac {\pi }{3}+i\sin \dfrac {\pi }{3}\right) }$

$\sqrt {1-\sqrt {3}i}=\sqrt {2}\cdot \sqrt {\dfrac {1-\sqrt {3}i}{2}}=\sqrt {2}\cdot \sqrt {\cos \dfrac {\pi }{3}-i\sin \dfrac {\pi }{3 }}$

$\sqrt {1+\sqrt {3}i}+\sqrt {1-\sqrt {3}i}=\sqrt {2}\left( \cos \dfrac {\pi }{6}+\cos \dfrac {\pi }{6}+i\sin \dfrac {\pi }{6}-i\sin \dfrac {\pi }{6}\right)=2\sqrt {2}\cdot \cos \dfrac {\pi }{6}$

したがって

$\sqrt {1+\sqrt {3}i}+\sqrt {1-\sqrt {3}i}=2\times \sqrt {2}\times \dfrac {\sqrt {3}}{2}=\sqrt {6}$

$\sqrt {6}$・・・答え