ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

$\int ^{1}_{-1}\sqrt {\dfrac {1+x}{1-x}}dx$の広義積分を計算する。

 

 

 

本当は広義積分をしなければならないが、答えが同じになるので、普通の積分のやり方で解く。

（１次試験は答えのみ記入するため、１問当たりの時間短縮が目的）

 

 

 

$\sqrt {1-x}=t$ とおくと

 

 

$\sqrt {1-x}=t\Rightarrow 1-x=t^{2}\Rightarrow -dx=2tdt$

 

 

$x: -1\rightarrow 1,t:\sqrt2 \rightarrow 0$　

 

 

また、$\sqrt {1+x}=\sqrt {2-t^{2}}\Rightarrow \sqrt {\dfrac {1+x}{1-x}}=\dfrac {\sqrt {2-t^{2}}}{t}$

 

 

 

したがって、

 

 

$\int ^{1}_{-1}\sqrt {\dfrac {1+x}{1-x}}dx=\int ^{0}_{\sqrt2}\dfrac {\sqrt {2-t^{2}}}{t}\left( -2t\right) dt$

 

 

$=\int ^{0}_{\sqrt2}-2\sqrt {2-t^{2}}dt=2\int ^{\sqrt2}_{0}\sqrt {2-t^{2}}dt$

 

 

 

$=2\times \dfrac {1}{2}\left[ t\sqrt {2-t^{2}}+2\sin ^{-1}\dfrac {t}{\sqrt {2}}\right] ^{\sqrt {2}}_{0}$

 

 

$=\left\{ \left( 0+2\cdot \dfrac {\pi }{2}\right) -\left( 0+0\right) \right\} =\pi$・・・答え

 

 

 

別解

 

 

 

$\int ^{1}_{-1}\sqrt {\dfrac {1+x}{1-x}}dx$

 

 

 

 

ここで　$\sqrt {\dfrac {1+x}{1-x}}=\dfrac {\sqrt {1+x}}{\sqrt {1-x}}\times \dfrac {\sqrt {1+x}}{\sqrt {1+x}}=\dfrac {1+x}{\sqrt {1-x^{2}}}$

 

 

 

 

よって

 

 

 

 

$\int ^{1}_{-1}\sqrt {\dfrac {1+x}{1-x}}dx=\int ^{1}_{-1}\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx+\int ^{1}_{-1}\dfrac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}dx$

 

 

 

 

 

$=\left[ \sin ^{-1}\right] ^{1}_{-1}-\left[ \dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}\right] ^{1}_{-1}$となるから

 

 

 

 

$=\dfrac {\pi }{2}-\left( -\dfrac {\pi }{2}\right) -0= \pi$

 

 

 

答　　$\pi$