ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

ｚは複素数で

 

 

[math]z=\cos \dfrac {2\pi }{2018}+i\sin \dfrac {2\pi }{2018}[/math] のとき

 

 

①[math]\left( 1-z\right) \left( 1-z^{2}\right) \left( 1-z^{3}\right) \ldots \left( 1-z^{2016}\right) \left( 1-z^{2017}\right)[/math]　を計算する。

 

 

 

 

 

[math]z_{1}z_{2},\ldots ,z_{2017}[/math]が[math][/math]

 

 

の相違なる根であるので

 

 

 

[math]\left( w^{2018} -1\right)=\left( w-1\right) \times \left( w-z\right) \times \left( w-z^{2}\right)  \ldots \left( w-z^{2017}\right)[/math]・・・（１）

 

 

 

また、等比級数の和の公式より

 

 

 

 

[math]1+w+w^{2}+\ldots +w^{2017}=\dfrac {1-w^{2018}}{1-w}[/math]・・・（２）

 

 

 

 

（１）と（２）より

 

 

 

[math]1+w+w^{2}+\ldots +w^{2017}=\left( w-z\right) \left( w-z^{2}\right) \ldots \left( w-z^{2017}\right)[/math]

 

 

 

[math] w＝１[/math]　を上の式に代入すると

 

 

[math]\left( 1-z\right) \left( 1-z^{2}\right) \left( 1-z^{3}\right) \ldots \left( 1-z^{2016}\right) \left( 1-z^{2017}\right)=2018[/math]・・・①の答え

 

 

 

 

②

 

 

[math]\dfrac {1}{1-z}+\dfrac {1}{1-z^{2}}+\ldots +\dfrac {1}{1-z^{2016}}+\dfrac {1}{1-z^{2017}}[/math]を計算する。

 

 

[math]z^{2017}=z^{-1}[/math]なので、

 

 

 

[math]\dfrac {1}{1-z}+\dfrac {1}{1-z^{2017}}=\dfrac {1}{1-z}+\dfrac {1}{1-\dfrac {1}{z}}=1[/math]

 

 

[math]\dfrac {1}{1-z^{2}}+\dfrac {1}{1-z^{2016}}=\dfrac {1}{1-z^{2}}+\dfrac {1}{1-\dfrac {1}{z^{2}}}=1[/math]

 

 

 

同様に順番にしていくと

 

 

[math]\dfrac {1}{1-z}+\dfrac {1}{1-z^{2}}+\ldots +\dfrac {1}{1-z^{2016}}+\dfrac {1}{1-z^{2017}}=\dfrac {2017}{2}[/math]・・・②の答え