ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

ｚは複素数で

 

 

$z=\cos \dfrac {2\pi }{2018}+i\sin \dfrac {2\pi }{2018}$ のとき

 

 

①$\left( 1-z\right) \left( 1-z^{2}\right) \left( 1-z^{3}\right) \ldots \left( 1-z^{2016}\right) \left( 1-z^{2017}\right)$　を計算する。

 

 

 

 

 

$z_{1}z_{2},\ldots ,z_{2017}$が

 

 

の相違なる根であるので

 

 

 

$\left( w^{2018} -1\right)=\left( w-1\right) \times \left( w-z\right) \times \left( w-z^{2}\right)  \ldots \left( w-z^{2017}\right)$・・・（１）

 

 

 

また、等比級数の和の公式より

 

 

 

 

$1+w+w^{2}+\ldots +w^{2017}=\dfrac {1-w^{2018}}{1-w}$・・・（２）

 

 

 

 

（１）と（２）より

 

 

 

$1+w+w^{2}+\ldots +w^{2017}=\left( w-z\right) \left( w-z^{2}\right) \ldots \left( w-z^{2017}\right)$

 

 

 

$w＝１$　を上の式に代入すると

 

 

$\left( 1-z\right) \left( 1-z^{2}\right) \left( 1-z^{3}\right) \ldots \left( 1-z^{2016}\right) \left( 1-z^{2017}\right)=2018$・・・①の答え

 

 

 

 

②

 

 

$\dfrac {1}{1-z}+\dfrac {1}{1-z^{2}}+\ldots +\dfrac {1}{1-z^{2016}}+\dfrac {1}{1-z^{2017}}$を計算する。

 

 

$z^{2017}=z^{-1}$なので、

 

 

 

$\dfrac {1}{1-z}+\dfrac {1}{1-z^{2017}}=\dfrac {1}{1-z}+\dfrac {1}{1-\dfrac {1}{z}}=1$

 

 

$\dfrac {1}{1-z^{2}}+\dfrac {1}{1-z^{2016}}=\dfrac {1}{1-z^{2}}+\dfrac {1}{1-\dfrac {1}{z^{2}}}=1$

 

 

 

同様に順番にしていくと

 

 

$\dfrac {1}{1-z}+\dfrac {1}{1-z^{2}}+\ldots +\dfrac {1}{1-z^{2016}}+\dfrac {1}{1-z^{2017}}=\dfrac {2017}{2}$・・・②の答え