ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

$\int ^{1}_{0}\left( \cos ^{-1}x\right) ^{2}dx$

を求める。

$\cos ^{-1}x=y\rightarrow \cos y=x$

$-\sin y\cdot dy=dx$

$x:0\rightarrow 1\Rightarrow y:\dfrac {\pi }{2}\rightarrow 0$　

$\int ^{1}_{0}\left( \cos ^{-1}x\right) ^{2}dx=\int ^{0}_{\dfrac {\pi }{2}}y^{2}siny\cdot dy$　

$=\left[ \cos y\cdot y^{2}\right] ^{0}_{\dfrac {\pi }{2}}-2\int ^{0}_{\dfrac {\pi }{2}}\cos y\cdot ydy$

$=-2\int ^{0}_{\dfrac {\pi }{2}}\cos y.ydy$

$=-2\left( \left[ y\cdot \sin y\right] ^{0}_{\dfrac {\pi }{2}}+\left[ \cos y\right] ^{0}_{\dfrac {\pi }{2}}\right)$

$=-2\times \left( \left( 0-\dfrac {\pi }{2}\right) +\left( 1-0\right) \right) =\pi -2$・・・答え