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微分方程式4の解説

 

 

 

[math]y'''-5y''-8y'+48=0[/math]

 

微分方程式を解く。

 

 

 

 

 

次に特性方程式を解くと

 

[math]\lambda ^{3}-5\lambda ^{2}-8\lambda +48=\left( \lambda +3\right) \left( \lambda -4\right) ^{2}=0[/math]

 

 

 

したがってこの微分方程式の解の形は

 

 

[math]y=Ae^{-3x}+\left( Bx+C\right) e^{4x}[/math]になる。

 

 

 

y(0)=A+C=-1

 

 

C=-A-1・・・(1)

 

 

 

[math]y'=-3Ae^{-3x}+\left( B+4C\right) e^{4x}+4Bxe^{4x}[/math]  

 

 

 

[math]y'\left( 0\right) =-3A+B+4C=1\ldots \left( 2\right)[/math]

 

 

 

[math]y''=9Ae^{-3x}+\left( 4B+16C\right) e^{4x}+4Be^{4x}+16Bxe^{4x}[/math]

 

 

 

[math]y''\left( 0\right) =9A+8B+16C=24\ldots \left( 3\right)[/math]

 

 

 

(1)の式を(2)と(3)に代入すると、

 

 

 

(2)は  -3A+B-4-4A=1より

 

      ー7A+B=5・・・(4)

 

 

(3)は  9A+8B+16(-1-A)=24

 

 

      -7A+8B=40・・・(5)

 

 

(4)-(5)より  B=5  A=0となる

 

 

 C=-A-1=0-1=-1

 

 

 

[math]y=\left( 5x-1\right) e^{4x}[/math]・・・答え

 

 

 

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