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[math]y'''-5y''-8y'+48=0[/math]
微分方程式を解く。
次に特性方程式を解くと
[math]\lambda ^{3}-5\lambda ^{2}-8\lambda +48=\left( \lambda +3\right) \left( \lambda -4\right) ^{2}=0[/math]
したがってこの微分方程式の解の形は
[math]y=Ae^{-3x}+\left( Bx+C\right) e^{4x}[/math]になる。
y(0)=A+C=-1
C=-A-1・・・(1)
[math]y'=-3Ae^{-3x}+\left( B+4C\right) e^{4x}+4Bxe^{4x}[/math]
[math]y'\left( 0\right) =-3A+B+4C=1\ldots \left( 2\right)[/math]
[math]y''=9Ae^{-3x}+\left( 4B+16C\right) e^{4x}+4Be^{4x}+16Bxe^{4x}[/math]
[math]y''\left( 0\right) =9A+8B+16C=24\ldots \left( 3\right)[/math]
(1)の式を(2)と(3)に代入すると、
(2)は -3A+B-4-4A=1より
ー7A+B=5・・・(4)
(3)は 9A+8B+16(-1-A)=24
-7A+8B=40・・・(5)
(4)-(5)より B=5 A=0となる
C=-A-1=0-1=-1
[math]y=\left( 5x-1\right) e^{4x}[/math]・・・答え
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