ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

次の連立微分方程式を解く。

 

$\begin{cases}\dfrac {dy}{dx}=y+2z+1\\ \dfrac {dz}{dx}=2y+z+3\\ y\left( 0\right) =z\left( 0\right) =\dfrac {1}{3}\end{cases}$

 

 

 

１番目の式に２番目の式をたすと

 

 

$\dfrac {dy}{dx}+\dfrac {dz}{dx}=3y+3z+4$

 

 

 

$\dfrac {d}{dx}\left( y+z+\dfrac {4}{3}\right) =3\left( y+z+\dfrac {4}{3}\right)$

 

 

 

$y+z+\dfrac {4}{3}=A$　とおくと

 

 

 

$\dfrac {dA}{dx}=3A\rightarrow \dfrac {1}{A}dA=3dx$

 

初期条件より

 

 

 

$A=C_{1}e^{3x}$

 

 

$C_{1}=2\Rightarrow y+z+\dfrac {4}{3}=2e^{3x}$

 

 

 

$y+z=2e^{3x}-\dfrac {4}{3}$・・・（１）

 

 

 

また連立方程式の１番目の式から２番目の式を引くと

 

 

 

$\dfrac {d}{dx}\left( y-z+2\right) =-\left( y-z+2\right)$

 

 

前の微分方程式と同様にこの微分方程式をとくと

 

 

$y-z+2=C_{2}e^{-x}$

 

初期条件より

 

 

$C_{1}=2\Rightarrow y-z=2e^{-x}-2$・・・（２）

 

 

 

 

（１）＋（２）　　（１）－（２）より

 

 

$\begin{cases}y=e^{3x}+e^{-x}-\dfrac {5}{3}\\ z=e^{3x}-e^{-x}+\dfrac {1}{3}\end{cases}$・・・答え