ここで勉強すれば数学検定1級の壁は超えられるか。

MENU
数学検定1級の壁 TOP  >  数検1級の微分方程式  >  微分方程式3の解説

微分方程式3の解説

 

次の連立微分方程式を解く。

 

[math]\begin{cases}\dfrac {dy}{dx}=y+2z+1\\ \dfrac {dz}{dx}=2y+z+3\\ y\left( 0\right) =z\left( 0\right) =\dfrac {1}{3}\end{cases}[/math]

 

 

 

1番目の式に2番目の式をたすと

 

 

[math]\dfrac {dy}{dx}+\dfrac {dz}{dx}=3y+3z+4[/math]

 

 

 

[math]\dfrac {d}{dx}\left( y+z+\dfrac {4}{3}\right) =3\left( y+z+\dfrac {4}{3}\right)[/math]

 

 

 

[math]y+z+\dfrac {4}{3}=A[/math] とおくと

 

 

 

[math]\dfrac {dA}{dx}=3A\rightarrow \dfrac {1}{A}dA=3dx[/math]

 

初期条件より

 

 

 

[math]A=C_{1}e^{3x}[/math]

 

 

[math]C_{1}=2\Rightarrow y+z+\dfrac {4}{3}=2e^{3x}[/math]

 

 

 

[math]y+z=2e^{3x}-\dfrac {4}{3}[/math]・・・(1)

 

 

 

また連立方程式の1番目の式から2番目の式を引くと

 

 

 

[math]\dfrac {d}{dx}\left( y-z+2\right) =-\left( y-z+2\right)[/math]

 

 

前の微分方程式と同様にこの微分方程式をとくと

 

 

[math]y-z+2=C_{2}e^{-x}[/math]

 

初期条件より

 

 

[math]C_{1}=2\Rightarrow y-z=2e^{-x}-2[/math]・・・(2)

 

 

 

 

(1)+(2)  (1)-(2)より

 

 

[math]\begin{cases}y=e^{3x}+e^{-x}-\dfrac {5}{3}\\ z=e^{3x}-e^{-x}+\dfrac {1}{3}\end{cases}[/math]・・・答え

 

 

 

 

同じカテゴリー「数検1級の微分方程式」の一覧

連立微分方程式2(微分方程式18)

類題 [math]x=x\left(t\right),y=y\left( t\right)[/math]のとき,次の連立微分方程式を 初期条件[math]x\left( 0\right) =5,y\l […]

記事の続きを読む

2階微分方程式 予想(微分方程式17)

  [math]2yy”=\left( y’\right) ^{2}-1[/math]      この微分方程式の一般解を求めよ。         […]

記事の続きを読む

微分方程式16の解説

  [math]y\left( 0\right) =0,y’\left( 0\right) =1[/math] のとき   [math]\left\{ \left( y’\righ […]

記事の続きを読む

微分方程式15の解説(連立微分方程式)

  次の連立微分方程式を解く。   [math]\begin{cases}\dfrac {dx}{dt}=3x\left( t\right) +y\left( t\right) \ […]

記事の続きを読む

微分方程式14の解説

初期条件 y(0)=1 ,y'(0)=0 を満たす。   [math]\dfrac {y”}{\sqrt {1+\left( y’\right) ^{2}}}=1[/math] の微分方程 […]

記事の続きを読む

Copyright© 2023 数学検定1級の壁

ページトップ