ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

次の連立微分方程式を解く。

$u'\left( x\right) +v'\left( x\right) +u\left( x\right) +v\left( x\right) =1\ldots \left( 1\right)$

$v'\left( x\right) -2u\left( x\right) -v\left( x\right) =0\ldots \left( 2\right)$

$u\left( x\right) +v\left( x\right) =f\left( x\right)$とおくと、（１）の方程式は

$f'\left( x\right) +f\left( x\right) =1$となる。

この微分方程式を公式を使って解くと、

$f\left( x\right) =e^{-x}\left( e^{x}+c\right) =1+ce^{-x}$

初期条件の$u\left( 0\right) =0,v\left( 0\right) =1$を代入すると

$f\left( 0\right) =1+ce^{0}=1,c=0$

したがって

$u\left( x\right) +v\left( x\right) =1\ldots \left( 3\right)$

次に（３）の式を（２）の式に代入すると、

$v'\left( x\right) +v\left( x\right) =2\ldots \left( 4\right)$

（４）の微分方程式を公式を使って解くと

$\begin{aligned}v\left( x\right) =e^{-x}\left( 2e^{x}+C_{1}\right) \\ =2+C_{1}e^{-x}\end{aligned}$

$\begin{aligned}v\left( 0\right) =2+C_{1}=1,C_{1}=-1\\ v\left( x\right) =-e^{-x}+2\ldots \left( 5\right) \end{aligned}$

　　　　　　・・・答え

（５）の式を（３）に代入すると

$u\left( x\right) =e^{-x}-1$・・・答え