ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

初期条件 y(0)=1 ,y＇(0)=0　を満たす。

 

$\dfrac {y''}{\sqrt {1+\left( y'\right) ^{2}}}=1$ の微分方程式を解く。

 

 

 

 

 

$y''=\sqrt {1+\left( y'\right) ^{2}}$

 

 

y＇=u とおいて　$u'=\dfrac {du}{dx}=\sqrt {1+u^{2}}$

 

 

$\int \dfrac {1}{1+u^{2}}du=\int dx\ldots \left( 1\right)$

 

 

(1)の両辺を積分すると、

 

 

 

$\log _{c}\left| \sqrt {1+u^{2}}+u\right| =x+C$　（Cは任意定数）

 

 

 

$\sqrt {1+u^{2}}+u=Ae^{x}$　（Aは任意定数）

 

 

$\sqrt {1+u^{2}}=Ae^{x}-u$

 

 

$1+u^{2}=\left( Ae^{x}-u\right) ^{2}=A^{2}e^{2x}-2Ae^{x}u+u^{2}$

 

 

 

$u=\dfrac {A^{2}e^{2x}-1}{2Ae^{x}}=\dfrac {Ae^{x}-\dfrac {e^{-x}}{A}}{2}$

 

 

 

y(0)=1 ,y＇(0)=u(0)=0より

 

 

 

$\dfrac {Ae^{x}-\dfrac {e^{-x}}{A}}{2}=\dfrac {A-\dfrac {1}{A}}{2}=\dfrac {A^{2}-1}{2A}=0$

 

 

 

題意より　Aは０ではないので

 

 

 

$A=\pm 1$　となり、したがって

 

 

 

$u=\pm \dfrac {e^{x}-e^{-x}}{2}$

 

 

 

$u'=\dfrac {du}{dx}=\sqrt {1+u^{2}}\Rightarrow u'\left( 0\right) =\sqrt {1+u^{2}\left( 0\right) }=1$の条件で適不適を判断する。

 

 

 

$A=1\Rightarrow u'=\dfrac {e^{x}-e^{-x}}{2}$はu＇(0)=1より適している。

 

 

$A=-1\Rightarrow u'=-\dfrac {e^{x}-e^{-x}}{2}$はu＇(0)=0より不適である。

 

 

 

したがって

 

 

$u=\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {e^{x}-e^{-x}}{2}$　となる。

 

 

 

両辺を積分すると。

 

 

$y=\dfrac {e^{x}+e^{-x}}{2}+C$

 

 

初期条件y(0)=1から　C=０になる。

 

 

微分方程式の解は

 

$y=\dfrac {e^{x}+e^{-x}}{2}$・・・答え