ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

$\dfrac {dy}{dx}-4y=\sin 2x$　の微分方程式を解く。

 

 

 

 

 

 

基本解は　$y=Ce^{4x}$になる。

 

 

特殊解の形は　$y=a\sin 2x+b\cos 2x$・・・①

 

 

①を１階微分すると

 

 

$y'=2a\cos 2x-2b\sin 2x$・・・②

 

 

①②を微分方程式に代入すると

 

$\left( -2b-4a\right) \sin 2x+\left( 2a-4b\right) \cos 2x=\sin 2x$　

 

 

 

$\begin{cases}a=2b\\ -2b-4a=1\end{cases}$

 

 

 

上の連立方程式を解いて

 

 

 

$\left( a,b\right) =\left( -\dfrac {1}{5},-\dfrac {1}{10}\right)$

 

 

 

したがって特殊解は　$y_{0}=-\dfrac {1}{5}\sin 2x-\dfrac {1}{10}\cos 2x$

 

 

解は　$y=Ce^{4x}-\dfrac {1}{5}\sin 2x-\dfrac {1}{10}\cos 2x$　（Cは任意の定数）・・・答え

 

別解　オイラーの公式より微分方程式を解く

 

 

$\dfrac {dy}{dx}-4y=\sin 2x=\dfrac {e^{2xi}-e^{-2xi}}{2i}$とおいて、微分方程式を解くと

 

 

 

$y=e^{4x}\left\{ \int \dfrac {\left( e^{2xi}-e^{-2xi}\right) }{2i}e^{-4x}dx+C_{1}\right\}$

 

 

 

$=e^{4x}\left( \dfrac {1}{2i}\left( \dfrac {e^{\left( 2i-4\right) x}}{2i-4}+\dfrac {e^{-\left( 2i+4\right) x}}{2i+4}\right) +C_{1}\right)$

 

 

 

$=\dfrac {1}{2i}\left( \dfrac {e^{2ix}}{2i-4}+\dfrac {e^{-2ix}}{2i+4}\right) +C_{1}e^{4x}$

 

 

 

$=\dfrac {1}{2i}\left( \dfrac {\left( 2i+4\right) e^{2xi}}{-20}+\dfrac {\left( 2i-4\right) e^{-2xi}}{-20}\right) +C_{1}e^{4x}$

 

 

$=\dfrac {1}{2i}\left( \dfrac {2i\left( e^{xi}+e^{-2xi}\right) }{-20}+\dfrac {4\left( e^{2xi}-e^{-2xi}\right) }{20}\right)+C_{1}e^{4x}$

 

 

 

$=-\dfrac {1}{10}\left( \dfrac {e^{2xi}+e^{-2xi}}{2}\right) -\dfrac {1}{5}\left( \dfrac {e^{2xi}-e^{-2xi}}{2i}\right)+C_{1}e^{4x}$

 

 

$=-\dfrac {\cos 2x}{10}-\dfrac {\sin 2x}{5}+C_{1}e^{4x}$・・・答え