ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

[math]\dfrac {dy}{dx}-4y=\sin 2x[/math]　の微分方程式を解く。

 

 

 

 

 

 

基本解は　[math]y=Ce^{4x}[/math]になる。

 

 

特殊解の形は　[math]y=a\sin 2x+b\cos 2x[/math]・・・①

 

 

①を１階微分すると

 

 

[math]y'=2a\cos 2x-2b\sin 2x[/math]・・・②

 

 

①②を微分方程式に代入すると

 

[math]\left( -2b-4a\right) \sin 2x+\left( 2a-4b\right) \cos 2x=\sin 2x[/math]　

 

 

 

[math]\begin{cases}a=2b\\ -2b-4a=1\end{cases}[/math]

 

 

 

上の連立方程式を解いて

 

 

 

[math]\left( a,b\right) =\left( -\dfrac {1}{5},-\dfrac {1}{10}\right)[/math]

 

 

 

したがって特殊解は　[math]y_{0}=-\dfrac {1}{5}\sin 2x-\dfrac {1}{10}\cos 2x[/math]

 

 

解は　[math]y=Ce^{4x}-\dfrac {1}{5}\sin 2x-\dfrac {1}{10}\cos 2x[/math]　（Cは任意の定数）・・・答え

 

別解　オイラーの公式より微分方程式を解く

 

 

[math]\dfrac {dy}{dx}-4y=\sin 2x=\dfrac {e^{2xi}-e^{-2xi}}{2i}[/math]とおいて、微分方程式を解くと

 

 

 

[math]y=e^{4x}\left\{ \int \dfrac {\left( e^{2xi}-e^{-2xi}\right) }{2i}e^{-4x}dx+C_{1}\right\}[/math]

 

 

 

[math]=e^{4x}\left( \dfrac {1}{2i}\left( \dfrac {e^{\left( 2i-4\right) x}}{2i-4}+\dfrac {e^{-\left( 2i+4\right) x}}{2i+4}\right) +C_{1}\right)[/math]

 

 

 

[math]=\dfrac {1}{2i}\left( \dfrac {e^{2ix}}{2i-4}+\dfrac {e^{-2ix}}{2i+4}\right) +C_{1}e^{4x}[/math]

 

 

 

[math]=\dfrac {1}{2i}\left( \dfrac {\left( 2i+4\right) e^{2xi}}{-20}+\dfrac {\left( 2i-4\right) e^{-2xi}}{-20}\right) +C_{1}e^{4x}[/math]

 

 

[math]=\dfrac {1}{2i}\left( \dfrac {2i\left( e^{xi}+e^{-2xi}\right) }{-20}+\dfrac {4\left( e^{2xi}-e^{-2xi}\right) }{20}\right)+C_{1}e^{4x}[/math]

 

 

 

[math]=-\dfrac {1}{10}\left( \dfrac {e^{2xi}+e^{-2xi}}{2}\right) -\dfrac {1}{5}\left( \dfrac {e^{2xi}-e^{-2xi}}{2i}\right)+C_{1}e^{4x}[/math]

 

 

[math]=-\dfrac {\cos 2x}{10}-\dfrac {\sin 2x}{5}+C_{1}e^{4x}[/math]・・・答え